全有界

设 $X$ 完备且全有界，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中任一序列。要抽出一个收敛子列。

① 抽一个「直径越来越小」的子列。 对 $k = 1, 2, 3$ … 依次操作：由全有界，$X$ 能被有限个半径 1/k 的球盖住，于是其中一个球含有当前子列中的无穷多项（抽屉原理：有限个球盖住无穷多项，必有一个球含无穷多项）。把子列限制到这个球里。

这样得到一串子列

其中第 $k$ 个子列的项全部落在某个半径 1/k 的球内，因此它任意两项的距离 $< 2/k$。

② 对角线。 取 $y_{k} = x^\{(k)\}_{k}$（第 $k$ 个子列的第 $k$ 项）。则 $\{y_{k}\}$ 是 $\{x_{n}\}$ 的子列；且对 $k, l \ge K$，$y_{k}$ 与 $y_{l}$ 都是第 $K$ 个子列的项（下标 $\ge K$ 的项都在里面），故

于是 $\{y_{k}\}$ 是 Cauchy 列。

③ 由 $X$ 完备，$\{y_{k}\}$ 收敛。于是 $\{x_{n}\}$ 有收敛子列，$X$ 列紧。∎

证明逆否：若 $X$ 不全有界，则存在一个没有收敛子列的序列。

① 不全有界给了我们一个「一致」的正数。 $X$ 不全有界，意思是存在某个 $\varepsilon _{0} > 0$，使 $X$ 不能被有限个半径 $\varepsilon _{0}$ 的球盖住。

② 递归地挑点。 取 $x_{1} \in X$ 任意。已取好 $x_{1}$ …$x_{n}$ 后，有限个球 $B(x_{1}, \varepsilon _{0})$ …$B(x_{n}, \varepsilon _{0})$ 盖不住 $X$，所以可再取

于是任何两个不同的项都满足 $m \ne n \implies d(x_m, x_n) \ge \varepsilon_0$

③ 它没有收敛子列。 任何子列中任意两项距离都 $\ge \varepsilon _{0}$，所以它不是 Cauchy 列；而度量空间里收敛必 Cauchy，故它不收敛。

④ 于是 $X$ 不列紧。取逆否，得列紧 $\implies$ 全有界。∎

$>$ ⚠ ② 是「取了一个点才能决定下一个点在哪」的递归选取，用的是相依选择公理 DC（比 AC 弱，但仍是选择原理）。这是整段里唯一实质用到选择的地方。

给定 $\varepsilon > 0$。考虑开球族

它显然是 $X$ 的开覆盖（每个 $x$ 都被 $B(x, \varepsilon )$ 含住）。由 $X$ 紧，存在有限子覆盖：

即 $\{x_{1}$ …$x_{n}\}$ 是一个有限的 $\varepsilon$网。由 $\varepsilon > 0$ 任意，$X$ 全有界。∎

$>$ 注意这条证明只用了「开球盖住自己」这一点 —— 它说明紧 $\implies$ 全有界几乎不需要任何技术。真正难的方向是下一条。