# 子集的紧性刻画　`prop.subset-compact-equiv`
命题：X 完备时，A 紧 $\iff A$ 闭且全有界
layer 15 · 命题 · 度量空间 · 拓扑学
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设 (X, d) 是**完备**的距离空间，$A \subseteq X$。则

$$A\text{ 紧} \iff A\text{ 闭}\text{ 且} A\text{ 全有界}$$

（「$A$ 全有界」按子空间度量 d|A 理解。）

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.compact`](../nodes/def.compact.md) 紧：用到了定义 紧　[proofs/def-link.compact-subset-equiv.md](../proofs/def-link.compact-subset-equiv.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/prop.subset-compact-equiv.2.md](./prop.subset-compact-equiv.2.md)

refs: Munkres, Topology, §28；Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 2

> 说明见 `notes/prop.subset-compact-equiv.md`

引用：`prop.subset-compact-equiv`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)