Stone 满射的 Čech 复形 1-有界零调

说明

要做的事：造一个零伦（contraction），把复形每一项的「闭链」都显式地写成边界，并且范数不超过原来的 $1$ 倍。$K = 1$ 是能得到的最好常数。

怎么造。先归约到 $S_{0}$、$S$ 都有限离散的情形（Stone 空间是投射有限的逆极限，逆极限保持零伦）。有限离散时，满射 $S_{0} \twoheadrightarrow S$ 允许把一个函数「在 $S$ 的每个纤维内逐点常值化」—— 这一步是线性的、范数不增的，正好给出所需零伦，于是 $|h| \le 1$。

为什么只到 Stone / 有限离散为止。 这一步只处理「Stone 空间之间的满射」。要把结论推到紧 Hausdorff，得先把它 Stone 化，再用 Čech 复形与层上同调的谱序列去比较偏差 —— 那正是下面两条要做的事。

证明。 三步归约。

• 归约到 $M$ 离散：Stone 空间写 $S_{0} = \varprojlim_{k} S_{0,k}$（$S_{0,k}$ 有限），$S_{k}$ 为它在 $S$ 里的像，则

左端的直极限拓扑就是上确界范数拓扑；而 $C(S, M^{\mathrm{disc}})$ 在 $C(S, M)$ 里稠密（极不连通性给出有限不交闭开细化，在每块上取常值逼近）。配上「$K$-有界正合在完备化下不变」与「滤过余极限保持 $K$-有界」，只需证离散那一个复形 $1$-有界零调（对它自己的拓扑）。

• 归约到 $S, S_{0}$ 有限：同一个余极限再把离散情形化归到有限。
• 有限情形：由「有截面的态射给出零调」，$\check{C}^{\bullet}\bigl((S_{0}\to S)^{+}, M\bigr)$ 是零伦的，且零伦有形式 $h^{n} : f \mapsto f \circ k_{n}$（逐纤维取一个截面点），于是 $\|h^{n}\| \le 1$。由 $\mathrm{id} = h\circ d + d\circ h$，对任意 $s$：

这正是 $K = 1$ 的 $K$-有界正合。∎