Čech 上同调Cech cohomology

Čech 上同调 $\check{H}^{n}(X, M^{\bullet})$

定义
依赖深度 layer 17
同调代数
范畴论
层上同调

def.cech-cohomology · 同调代数 · Čech 上同调 · 预层 · 覆盖

又称Čech 上同调·Cech 上同调·Cech cohomology·Definition 7.3.5·Def 7.3.5

陈述

设 $M^{\bullet}$ 是 site $\mathcal{C}$ 上的阿贝尔预层复形， $X \in \mathcal{C}$ 。它的第 $n$ 个 Čech 上同调群是

\check{H}^{n}(X, M^{\bullet}) := \Gamma\bigl(X,\ \check{H}^{n}(M^{\bullet})\bigr).

说明

与层上同调的区别：层上同调要先取内射消解（贵）；Čech 上同调直接用覆盖算（便宜），代价是它一般只是「逼近」。

为什么叫 Čech：它照着 Čech 那套「用开覆盖的交叠来算整体信息」的直觉造出来的 —— 覆盖的每一层交叠给一个群，交叠的包含关系给微分，取同调就是 Čech 上同调。

它指向谁（出边）

定义引用 8

有限不交覆盖的 Čech 零调用到本页定义引用

结论是关于 Čech 上同调 $\check{H}^{n}$ 的。
高次上同调预层没有 Čech 上同调用到本页定义引用

命题说这个预层的 Čech 上同调为零。
区间上没有高阶 Čech 上同调用到本页定义引用

结论是区间上的高阶 Čech 上同调为零。
Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限用到本页定义引用

它给出 Čech 上同调的另一种算法。
Cartan–Leray 谱序列用到本页定义引用

谱序列的第一页是 Čech 上同调。
无环 ⟺ Čech 上同调为零用到本页定义引用

另一半用的是 Čech 上同调。
Stone 满射的 Čech 复形 1-有界零调用到本页定义引用

说的是增广 Čech 复形的 $1$ -有界零调性。
单纯方法算层上同调用到本页定义引用

超覆盖是 Čech 复形的一般形式。

谁指向它（入边）

定义引用 1

Čech 函子 → 本页定义引用

Čech 上同调用的是Čech 函子。

参考

Le Stum, Definition 7.3.5

常见问法 2 条

层上同调怎么算也看单纯方法算层上同调、层上同调
Čech 上同调什么时候等于层上同调也看紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调、层上同调

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