层化不改变导出的整体截面

命题：Γ(X,RH(M∙))=RΓ(X,M∙)\Gamma\bigl(X, R\mathcal{H}(M^{\bullet})\bigr) = R\Gamma(X, M^{\bullet})，从而 Γ(X,Hn(M∙))=Hn(X,M∙)\Gamma\bigl(X, \mathcal{H}^{n}(M^{\bullet})\bigr) = H^{n}(X, M^{\bullet})

prop.cohomology-presheaf-H · 命题 · 层化 · 导出函子 · 整体截面 · 上同调预层

又称Exercise 7.42

陈述

设 X∈CX \in \mathcal{C}、M∙M^{\bullet} 是阿贝尔层复形，H\mathcal{H} 记「把阿贝尔层当预层看」的含入函子。则

Γ(X, RH(M∙))  =  RΓ(X, M∙),Γ(X, Hn(M∙))  =  Hn(X, M∙).\Gamma\bigl(X,\ R\mathcal{H}(M^{\bullet})\bigr) \;=\; R\Gamma\bigl(X,\ M^{\bullet}\bigr), \qquad \Gamma\bigl(X,\ \mathcal{H}^{n}(M^{\bullet})\bigr) \;=\; H^{n}\bigl(X,\ M^{\bullet}\bigr).

说明

证明。 H\mathcal{H} 与层化互为伴随，而层化正合 ✓，所以 H\mathcal{H} 保内射 ✓（左伴随正合的右伴随保内射）。反过来，函子 M↦Γ(X,M)M \mapsto \Gamma(X, M) 在预层上是正合的 ✓。两条合起来套用「导出函子与正合因子的复合」那条，即得第一式 ✓；第二式就是对它取 nn 次同调并在层那一侧读出取值 ✓。∎

⭐ 用处：上同调预层 Hn(M)H^{n}(M) 的取值就是上同调 —— 这句在算 Čech 与上同调的关系时反复要用。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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