Cartan–Eilenberg 分解

说明

为什么需要它。 双复形可以按两种方式过滤（先按列、或先按行），各得一条谱序列。要让这两条谱序列同时收敛到同一个总复形的上同调，就必须在构造上保证「行和列都是内射消解」—— 这正是 Cartan–Eilenberg 分解给出的东西。

「$H^{p}$ 那一层也是内射消解」是关键的额外要求：只要求每列是内射消解还不够（那样第二条谱序列会退化）；要求上同调层也是内射消解，才能让两条过滤都读到完整信息。

⭐ 用在哪：推导「两个导出函子的复合 = 谱序列」（Grothendieck 谱序列）、以及导出范畴里「有界下有界复形可以换成分解」的标准论证，都要先有这条。

构造（归纳 + 马蹄引理）。 记 $Z^{p} := \ker d^{p}$、$B^{p} := \operatorname{im} d^{p-1}$，于是每个 $p$ 有两条短正合列

• 对大序数/整个复形同时取内射消解：先取 $K^{p}$ 的内射消解 $I^{p,\bullet}$，再用马蹄引理（horseshoe lemma）把它与 $B^{p+1}$、$Z^{p}$ 的消解拼起来 —— 因为 $B^{p+1}$ 与 $Z^{p}$ 的消解可以从 $K^{p}$ 的消解里「切」出来；
• 两条正合列各用一次马蹄引理，就能保证同时满足两个要求：每个 $K^{p} \to I^{p,\bullet}$ 是内射消解，且每个 $H^{p}(K^{\bullet}) \to H^{p}(I^{\bullet,\bullet})$ 也是内射消解（后者靠第二条正合列与「分次内射」的逐层内射性）；
• 下有界：从最小的 $p$ 起递推，$q < 0$ 的层取 $0$。∎

⚠️ 第二条要求是关键：只要求「每列是内射消解」不够，那样按行的过滤会退化；要求上同调层也是内射消解，两条过滤才都读到完整信息。