Leray 谱序列

定理：E2p,q=Hp(X′,Rqf∗M∙)  ⟹  Hp+q(f−1X′,M∙)E^{p,q}_{2} = H^{p}\bigl(X', R^{q}f_{*}M^{\bullet}\bigr) \implies H^{p+q}\bigl(f^{-1}X', M^{\bullet}\bigr)

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又称Exercise 7.56

陈述

设 f:T→T′f : \mathcal{T} \to \mathcal{T}' 是拓扑斯态射、X′∈T′X' \in \mathcal{T}'、M∙M^{\bullet} 是 T\mathcal{T} 里的阿贝尔群复形。则存在谱序列

E2p,q  =  Hp(X′, Rqf∗M∙)  ⟹  Hp+q(f−1(X′), M∙).E^{p,q}_{2} \;=\; H^{p}\bigl(X',\ R^{q}f_{*}M^{\bullet}\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}\bigl(f^{-1}(X'),\ M^{\bullet}\bigr).

说明

证明。 关键的一条是伴随给出的截面同构

Γ(X′, f∗M)=Γ(f−1(X′), M)✓\Gamma\bigl(X',\ f_{*}M\bigr) = \Gamma\bigl(f^{-1}(X'),\ M\bigr) ✓

把 Γ(f−1(X′),⋅)\Gamma\bigl(f^{-1}(X'), \cdot\bigr) 写成 Γ(X′,⋅)∘f∗\Gamma(X', \cdot) \circ f_{}，再套 Grothendieck 谱序列（f∗f_{} 把内射送到 f∗f_{*} 的零调对象 —— 内射本身零调）✓，即得 ✓。∎

⭐ 用处：先在 T\mathcal{T} 这一侧算 Rqf∗R^{q}f_{*}，再在 T′\mathcal{T}' 那一侧算 HpH^{p}，两层的信息由这条谱序列拼起来。

谁指向它（入边）

推出 1

定义引用 1

参考

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