上同调的函子性

命题：Hn(X′,M∙)→Hn(f−1(X′),f−1M∙)H^{n}(X', M^{\bullet}) \to H^{n}\bigl(f^{-1}(X'), f^{-1}M^{\bullet}\bigr)

prop.cohomology-functoriality · 命题 · 层上同调 · 拓扑斯态射 · 拉回 · 典范映射

又称Exercise 7.54

陈述

设 f:T→T′f : \mathcal{T} \to \mathcal{T}' 是拓扑斯态射。则对 X′∈T′X' \in \mathcal{T}' 与复形 M∙M^{\bullet}，存在典范映射

Hn(X′, M∙)⟶Hn(f−1(X′), f−1M∙).H^{n}\bigl(X',\ M^{\bullet}\bigr) \longrightarrow H^{n}\bigl(f^{-1}(X'),\ f^{-1}M^{\bullet}\bigr).

说明

证明。 由伴随 f−1⊣f∗f^{-1} \dashv f_{*}，整体截面满足

Γ(X′, M)=Hom⁡(X′,M)=Hom⁡(f−1(X′), f−1M)=Γ(f−1(X′), f−1M)✓\Gamma\bigl(X',\ M\bigr) = \operatorname{Hom}(X', M) = \operatorname{Hom}\bigl(f^{-1}(X'),\ f^{-1}M\bigr) = \Gamma\bigl(f^{-1}(X'),\ f^{-1}M\bigr) ✓

而 f−1f^{-1} 正合、保内射 ✓，所以它把内射消解送到内射消解，两边取导出函子即得这条典范映射 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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