一次 Čech 就是一次上同调

命题： $\check{H}^{1}(X, M) \cong H^{1}(X, M)$

prop.cech-h1-equals-h1 · 命题 · Čech 上同调 · 层上同调 · 谱序列 · 五项正合列

又称Exercise 7.48

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是有纤维积的 site、 $X \in \mathcal{C}$ 、 $M$ 是阿贝尔层。则

\check{H}^{1}(X,\ M) \;\cong\; H^{1}(X,\ M).

证明。 用 Čech 到上同调的谱序列

E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}\bigl(X,\ H^{q}(M)\bigr) \implies H^{p+q}(X, M) ✓

由「高次上同调预层没有 Čech 上同调」， $q \ne 0$ 那一整块都为零 ✓，特别地 $E^{0,1}_{2} = 0$ 。再由第一象限谱序列的五项正合列

0 \to E^{1,0}_{2} \to H^{1} \to E^{0,1}_{2} \to \cdots

最后一项为零，故 $E^{1,0}_{2} \cong H^{1}$ ✓；而 $E^{1,0}_{2} = \check{H}^{1}(X, H^{0}(M)) = \check{H}^{1}(X, M)$ ✓（ $H^{0}(M) = M$ ）。∎

⭐ 于是一次 Čech 上同调永远等于一次层上同调，高次才会差（差多少由谱序列量出来）。

Čech 到上同调的谱序列、高次上同调预层没有 Čech 上同调、谱序列的五项正合列 ⟹ 本页推出

Čech 到上同调谱序列 + 高次预层为零 $\implies$ 一次 Čech 就是一次上同调

谱序列 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X,M)$ ✓ 里， $q \ne 0$ 的项全为零 ✓，特别地 $E^{0,1}_{2} = 0$ 。五项正合列 $0 \to E^{1,0}_{2} \to H^{1} \to E^{0,1}_{2} \to \cdots$ ✓ 于是给出 $E^{1,0}_{2} \cong H^{1}$ ，而 $E^{1,0}_{2} = \check{H}^{1}(X, M)$ ✓。∎