带截面的覆盖上 Čech 零调

命题：满射有截面时增广 Čech 复形同伦平凡

命题
依赖深度 layer 17
同调代数
层上同调

prop.cech-section-vanishing · 命题 · Čech 上同调 · 截面 · 同伦

又称带截面的覆盖上 Čech 零调·Proposition 7.3.3·Prop 7.3.3

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯， $X_{0} \xrightarrow{\ p\ } X$ 是态射且有截面 $s$ （ $p s = 1_{X}$ ）。记

X_{n} := X_{0} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{0} \quad (n+1 \text{ 个因子}),

则对 $\mathcal{T}$ 中任何阿贝尔群 $M$ ，增广 Čech 复形 $\check{C}^{\bullet}\bigl((X_{0} \to X)^{+}, M\bigr)$ 是同伦平凡的；特别地

\check{H}^{n}\bigl((X_{0} \to X),\ M\bigr) = 0 \qquad (n > 0).

同伦的形状是 $f \mapsto f \circ s^{n}$ ，其中 $s^{n} : X_{n} \to X_{n+1}$ 。

说明

证明。 对每个 $n \ge -1$ 取

s^{n} := s \times_{X} 1_{X_{n}} : X_{n} \longrightarrow X_{n+1}

（ $n = -1$ 时它就是 $s$ 本身）。这是「沿截面把次数提高一格」的那一族映射，满足收缩同伦的恒等式

1_{X_{n}} = s^{n+1} d_{n} + d_{n+1} s^{n}, \qquad d_{n} := \sum_{i=0}^{n}(-1)^{i} d^{n}_{i}

（把两边逐项展开成各面映射 $d^{n}_{i}$ 的复合即可验证）✓。把 $s^{n}$ 线性延拓到自由对象上，同一恒等式说明 $\mathbb{Z}\cdot X^{+}_{\bullet}$ 上的恒等映射同伦于 0 —— 即这个复形同伦平凡 ✓。而 $\check{C}^{\bullet} = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X^{+}_{\bullet},\ M\bigr)$ ，Hom 函子把同伦 $(s^{n})$ 送到同伦 $(\operatorname{Hom}(s^{n}, M))$ ，故 Čech 复形也同伦平凡，正次数上同调为零 ✓。∎

⭐ 有截面 $\implies$ 没有高次 Čech 上同调。于是覆盖族里只要有一支映射带截面，整族的 Čech 复形就收缩掉 —— 「同构映射」「有限不交覆盖」这些情形全部自动零调。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 覆盖给出的自由复形零调推出

有截面的 Čech 同伦 $\implies$ 任意覆盖上自由复形零调

（一）化到单个满态射。 令 $X_{0} := \coprod_{i} X_{i}$ 。满态射 $X_{0} \to X$ 的 Čech 脉的第 $n$ 项正是 $\coprod_{i_{0},\ldots,i_{n}} X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}} = X_{n}$ ✓，所以只需证明 $X_{0} \twoheadrightarrow X$ 的情形。 （二） $\mathcal{T} = \mathbf{Set}$ 。 满射有截面 $s$ （选择公理）✓。沿截面取
$s^{n} := s \times_{X} 1_{X_{n}} : X_{n} \longrightarrow X_{n+1},$
它满足收缩同伦的恒等式 $1_{X_{n}} = s^{n+1} d_{n} + d_{n+1} s^{n}$ ✓（逐面展开即得），于是增广复形同伦平凡，特别地零调 ✓。这正是「带截面的覆盖上 Čech 零调」那条命题。 （三） $\mathcal{T} = \widehat{\mathcal{C}}$ （预层）。 由上一条定理，预层范畴里的极限与余极限逐点算，而零调是「逐点取同调为零」，于是在每个 $X \in \mathcal{C}$ 处化回 (二) ✓。 （四） $\mathcal{T} = \widehat{\mathcal{C}}^{\#}$ （site 上的层）。 任意满态射都是 $\widehat{\mathcal{C}}$ 中某个满态射的层化 ✓。层化正合（既保有限极限、又保余极限），所以它把预层版本的 Čech 脉逐项送过来、并保持复形的正合性；再由层化的正合性，预层版本的零调直接给出层版本的零调 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

Čech 函子 → 本页定义引用

命题说的就是 Čech 复形，用的是 Čech 函子那套记号。
阿贝尔层 → 本页定义引用

系数 $M$ 是拓扑斯里的阿贝尔群（阿贝尔层）。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.3

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