Čech 函子

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 层化推出
  Čech 函子做两次 $\implies$ 层化

  记 $\sharp := \widehat{H} \circ \widehat{H}$。

  落到层上。 对任意预层 $T$，$\widehat{H}(T)$ 是分离的；再对分离的 $\widehat{H}(T)$ 用一次，得到的 $\widehat{H}(\widehat{H}(T))$ 是层（Čech 函子的性质 2）。所以 $T^{\sharp}$ 总是层。∎

  从层出发不动。 设 $F$ 是层。由性质 3（$F$ 是层 $\iff F \to \widehat{H}(F)$ 是同构）得 $\widehat{H}(F) \cong F$，再做一次仍得到 $F$。所以 $\sharp$ 在层上是恒等 —— 这就是幂等性 $(T^{\sharp})^{\sharp} \cong T^{\sharp}$。∎

  伴随性。 要证 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$（$F$ 是层）。先证 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$：由 $\widehat{H}$ 的定义逐点展开，

  $$\operatorname{Hom}\bigl(\widehat{H}(T), F\bigr)(X) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\widehat{H}(T)(X), F(X)\bigr)$$

  而 $\widehat{H}(T)(X) = \varinjlim_{R} \operatorname{Hom}(R, T)$ 是滤过余极限，故

  $$\operatorname{Hom}\bigl(\varinjlim_{R} \operatorname{Hom}(R, T),\ F(X)\bigr) \;\cong\; \varprojlim_{R} \operatorname{Hom}\bigl(\operatorname{Hom}(R, T),\ F(X)\bigr)$$

  这里只差最后一步：要用「$F$ 是层」把 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(R, T), F(X))$ 换回 $T(X)$ 那一侧 —— 这一步是米田引理与层条件的联手（$\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$ 对 $R \in J(X)$ 成立）。逐项套回去即可。于是 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$，再对 $\widehat{H}(T)$ 用一次（此时它是分离的、用到性质 3）就得到 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$。∎

  反射子范畴。 以上合起来：$\sharp$ 是左伴随、在层上取恒等、且每个对象都映到层里。按反射子范畴的判据，这就是「层范畴是预层范畴的反射子范畴，反射是 $\sharp$」。∎

  注意「做两次」不是凑出来的：第一次把预算层变成分离的，第二次才把分离的变成层 —— 差的正是「分离」与「层」之间的那一步（性质 3）。

定义引用 6

• 带截面的覆盖上 Čech 零调 用到 本页定义引用

  命题说的就是 Čech 复形，用的是 Čech 函子那套记号。

• 覆盖给出的自由复形零调 用到 本页定义引用

  这条引理是 Čech 那套机器能开工的前提。

• Čech 上链的具体公式 用到 本页定义引用

  公式就是 Čech 复形逐项写出来。

• Čech 函子的性质 用到 本页定义引用

  三条性质都是关于 $\widehat{H}$ 的。

• 层化 用到 本页定义引用

  层化取「对预层做两次 Čech 构造」。

• Čech 上同调 用到 本页定义引用

  Čech 上同调用的是Čech 函子。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 层 → 本页定义引用

  Čech 函子是把预层朝层的方向推一把的那个构造。