拓扑空间上的常层就是离散空间的层

命题： $\widetilde{E}_{\mathbf{Top}} \cong \underline{E^{\mathrm{disc}}}$

命题
依赖深度 layer 17
范畴论
层与拓扑

prop.constant-sheaf-top · 命题 · 常层 · 拓扑空间 · 连通 · 离散空间

又称Exercise 3.23

陈述

设 $E$ 是集合。则 $\mathbf{Top}$ 上的常层就是离散空间 $E$ 所给出的层：

\widetilde{E}_{\mathbf{Top}} \;\cong\; \underline{E^{\mathrm{disc}}},

并且 $\widetilde{E}_{\mathbf{Top}}(X) = E$ $\iff$ $X$ 连通。

说明

证明。 常层的取值是「 $X$ 上的局部常值 $E$ -值映射」✓（层化把常预层换成局部常值映射），而离散空间 $E$ 给出的层取值是连续映射 $X \to E^{\mathrm{disc}}$ —— 那正好也是局部常值映射 ✓，两者一致 ✓。而「 $X$ 上每个局部常值映射都是常映射」 $\iff$ $X$ 连通 ✓。∎

⭐ 这条把「常」与「离散」接上了：离散空间的凝聚态集就是常层。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 终映射给出的拓扑斯态射推出

对象给出的拓扑斯态射 $\implies$ 终映射的情形

取 $X \in \mathbf{Top}$ 与到单点的映射 $p : X \to \mathbf{1}$ ✓。沿 $p$ 的推前就是「在 $X$ 上取整体截面」 $p_{*}\mathcal{F} = \Gamma(X, \mathcal{F})$ ✓；拉回把集合 $E$ 送到 $X$ 上的常层 $p^{-1}E = \widetilde{E}_{X}$ ✓（常层就是离散空间给出的层）。再对连续映射 $f : Y \to X$ 用「拉回关于复合相容」： $q = p \circ f$ 给出 $\widetilde{E}_{Y} = q^{-1}E = f^{-1}p^{-1}E = f^{-1}\widetilde{E}_{X}$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

关联层 → 本页定义引用

两边都是「关联层」这个构造的特例。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.23

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