不交万有余积与次标准拓扑

说明

证明。 记次标准拓扑下的层化为 $(-)^{\sharp}$，此时可表示预层都是层：$h_{X}^{\sharp} = h_{X}$。 $(\implies)$ 设 $X = \coprod_{i}X_{i}$ 在 $\mathcal{C}$ 里不交、万有。Yoneda 嵌入保余积，故 $h_{X} \cong \coprod_{i}h_{X_{i}}$，两边都是层，即这个余积在层范畴里就被算出来了 ✓。不交：层范畴的余积逐点算，$\coprod_{i}h_{X_{i}}$ 的注入都来自 $\mathcal{C}$ 里的注入，两两拉回是 $h_{0}$（始对象）✓。万有：沿任意 $Z \to h_{X}$ 的拉回逐点验，落在 $\mathcal{C}$ 里就是原来的万有性 ✓。 $(\Longleftarrow)$ 设某个次标准拓扑下 $h_{X} = \coprod_{i}h_{X_{i}}$ 不交、万有。逐点（对每个 $Z \in \mathcal{C}$）展开：不交给 $\operatorname{Hom}(Z,X) = \coprod_{i}\operatorname{Hom}(Z,X_{i})$ 的不交并；万有给「沿 $Z' \to Z$ 拉回保持它」。取 $Z = X$ 与 $1_{X}$ 读出 $X_{i}\to X$ 的注入性，取 $Z = X_{i}\times_{X}X_{j}$ 读出两两拉回是始对象，再取任意 $Z$ 得万有性，逐条搬回 $\mathcal{C}$ ✓。 结论：标准拓扑恰好把 $\mathcal{C}$ 里成立的余积性质原样保留，不多也不少。∎

一个方向：次标准保证 $X = h_{X}$、$X_{i} = h_{X_{i}}$ 都在层范畴里，而 $\coprod_{i} h_{X_{i}}$ 本来就不交，所以自动是层。另一个方向：拿 $h_{X} = \coprod_{i} h_{X_{i}}$ 去逐条验注入性与「拉回是始对象」。

含义：标准拓扑恰好把 $\mathcal{C}$ 里成立的那部分余积性质原样保留下来，不多也不少 —— 这就是「次标准」这个名字该有的分量。