常层的伴随

命题：Hom⁡(E~C,F)≅Hom⁡Set(E,Hom⁡(1C,F))\operatorname{Hom}(\widetilde{E}_{\mathcal{C}}, F) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}\bigl(E, \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{\mathcal{C}}, F)\bigr)

prop.constant-sheaf-adjunction · 命题 · 常层 · 伴随 · 终对象

又称Exercise 3.22

陈述

设 EE 是集合、FF 是 site C\mathcal{C} 上的层。则

Hom⁡(E~C, F)  ≅  Hom⁡Set(E, Hom⁡(1C,F))  ≅  Hom⁡(1C,F)E,\operatorname{Hom}\bigl(\widetilde{E}_{\mathcal{C}},\ F\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}\bigl(E,\ \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{\mathcal{C}}, F)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{\mathcal{C}}, F)^{E},

其中 1C\mathbf{1}_{\mathcal{C}} 是终对象。

说明

证明。 常层是「EE 份终对象」的余积的层化 ✓，而层化与含入互为伴随、余积的 Hom 是积 ✓，于是

Hom⁡(E~, F)≅Hom⁡(∐E1C, F)≅Hom⁡(1C,F)E✓\operatorname{Hom}\bigl(\widetilde{E},\ F\bigr) \cong \operatorname{Hom}\Bigl(\coprod_{E} \mathbf{1}_{\mathcal{C}},\ F\Bigr) \cong \operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{\mathcal{C}}, F)^{E} ✓

左端再换成 Hom⁡Set(E,Hom⁡(1,F))\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(E, \operatorname{Hom}(\mathbf{1}, F)) 即可 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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