万有关系

万有余极限、万有满态射、不交余积

定义
依赖深度 layer 13
范畴论
层与拓扑

def.universal-colimit · 范畴论 · 万有 · 余积

又称万有余极限·universal colimit·万有满态射·不交余积·disjoint coproduct·Definition 3.2.11·Def 3.2.11

陈述

余极限 $X = \varinjlim_{i} X_{i}$ 叫万有的，如果对任意 $X \to Y$ 与 $Y' \to Y$ ，

X \times_{Y} Y' \;\cong\; \varinjlim_{i} \bigl(X_{i} \times_{Y} Y'\bigr)

正则满态射 $f : X \to Y$ 叫万有的，如果对任意 $Y' \to Y$ ，拉回 $f \times_{Y} Y'$ 仍是正则满态射；
余积 $X = \coprod_{i \in I} X_{i}$ 叫不交的，如果 (a) 每个 $X_{i} \to X$ 是单态射，(b) $i \ne j$ 时 $X_{i} \times_{X} X_{j}$ 是始对象。

有效等价关系叫万有的，如果它的商映射是万有正则满态射。

说明

「万有」= 拉回之后还在：不管把整个图沿什么映射拉回去，性质都保持。这三条是把「集合里那些显然的好性质」翻译成范畴语言的样板 —— 它们在 $\mathbf{Set}$ 里不出问题，但换一个范畴就未必，所以必须写下来。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ site 的层范畴的好性质推出

逐点继承 $\mathbf{Set}$ 的性质

几条性质在 $\mathbf{Set}$ 里都是熟知的：余积就是不交并（万有）、满射就是像的商（正则）、滤过余极限与有限极限交换。
关键是把 $\mathbf{Set}$ 的性质搬到层范畴。做法分两步：先在预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里验证（预层范畴是函子范畴，一切逐点定义，因而逐点继承 $\mathbf{Set}$ 的性质），再用层化把结论送回层范畴。
而层化保有限极限与余极限（上一条定理的推论 2），所以「先算再层化」与「层化后再算」一致，性质就跟着过来了。
第 3 条具体证一下（其余同法）。设 $F \to G$ 是层范畴里的满态射。取它在层范畴中的满-单分解 $F \to I \rightarrowtail G$ 。对该分解层化（层上的层化是恒等），并用满态射的右可消性得 $I \to G$ 既满又单，于是是同构（前一条命题），所以 $I \cong G$ 落在 $F$ 的像里。
再由「满态射的局部判据」， $F \to G$ 是满的当且仅当局部有原像；把这个局部条件写成 $F \to G$ 的核对 $F \times_{G} F \rightrightarrows F$ ，就得到 $F \to G$ 是这对投影的余等化子 —— 即正则满。∎

整条证明的模子是：先在函子范畴里逐点做，再用层化运回来。这就是为什么前面要花力气把「滤过余极限正合」「层化保有限极限」立起来。

定义引用 3

site 的层范畴的好性质用到本页定义引用

五条性质里出现了万有余极限、万有满态射、不交余积。
不交万有余积与次标准拓扑用到本页定义引用

命题说的是不交万有余积在次标准拓扑下保持不变。
预拓扑斯用到本页定义引用

预拓扑斯的第 2、3、4 条用的都是不交 / 万有 / 有效这三个词。

谁指向它（入边）

定义引用 1

纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

万有性、不交余积都要用纤维积说出来。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2

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