层化与像交换

命题：im⁡(T#→T′#)=(im⁡(T→T′))#\operatorname{im}(T^{\#} \to T'^{\#}) = \bigl(\operatorname{im}(T \to T')\bigr)^{\#}

prop.sheafification-image · 命题 · 层化 · 像 · 正合

又称Exercise 3.20

陈述

设 C\mathcal{C} 是 site、u:T→T′u : T \to T' 是预层态射。则

im⁡(T#→T′#)  =  (im⁡(T→T′))#.\operatorname{im}\bigl(T^{\#} \to T'^{\#}\bigr) \;=\; \Bigl(\operatorname{im}\bigl(T \to T'\bigr)\Bigr)^{\#}.

说明

证明。 层化正合（既保有限极限又保余极限）✓，所以它把预层里的像（ker⁡(coker⁡)\ker(\operatorname{coker}) 形式）逐项送过去；层范畴里的像同样由 im⁡=ker⁡(coker⁡)\operatorname{im} = \ker(\operatorname{coker}) 给出 ✓，两条路走到同一处 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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