层化是切片上的余极限

命题： $T^{\#} \cong \varinjlim_{X \in \mathcal{C}/T} X$

prop.sheafification-slice-colimit · 命题 · 层化 · 切片范畴 · 余极限 · 关联层

又称Exercise 3.26

陈述

设 $T$ 是 site $\mathcal{C}$ 上的预层。则它的层化是切片范畴上的余极限

T^{\#} \;\cong\; \varinjlim_{X \in \mathcal{C}/T}\ X^{\sharp},

这里每个 $X$ 都看成它的关联层 $X^{\sharp} = h_{X}^{\#}$ 。

证明。 $T = \varinjlim_{(X \to T)} h_{X}$ ✓（元素范畴给出的余极限），层化保余极限 ✓，而 $h_{X}^{\#} = X^{\sharp}$ ✓，于是 $T^{\#} = \varinjlim X^{\sharp}$ ✓。∎

⭐ 读法：层化就是「把 $T$ 按它的元素拆开、逐个关联层化再拼回去」。