覆盖筛构成滤子

命题：J(X)J(X) 是筛的序集上的滤子

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又称Exercise 3.11

陈述

对每个 XX，J(X)J(X)（XX 上的覆盖筛全体）是筛的序集上的滤子：

  1. J(X)≠∅J(X) \ne \emptyset；
  2. R,R′∈J(X)  ⟹  R∩R′∈J(X)R, R' \in J(X) \implies R \cap R' \in J(X)（即 J(X)J(X) 对下界封闭）；
  3. R∈J(X)R \in J(X) 且 R⊆R′  ⟹  R′∈J(X)R \subseteq R' \implies R' \in J(X)（对更大的筛封闭）。

说明

证明。 三条都是 Grothendieck 拓扑公理的直接改写：公理 (T1) 给出 hX∈J(X)h_{X} \in J(X) ✓；公理 (T2)（覆盖沿自身拉回）给出第 3 条 ✓；公理 (T3)（覆盖沿覆盖细化）给出第 2 条 = 「两个覆盖的公共细化仍是覆盖」✓。∎

⭐ 于是「沿越来越大的覆盖取极限」是对一个滤子取滤过余极限 —— Čech 函子的定义正是这么写的。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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