Grothendieck 拓扑

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 覆盖筛即余积满射推出
  覆盖族生成覆盖筛 $\iff$ 余积满

  记覆盖族为 $(f_{i} : X_{i} \to X)_{i \in I}$，它生成的筛为 $R \subseteq h_{X}$，并记 $q : \coprod_{i} X_{i} \to X$ 为余积给出的那个态射。

  $R = h_{X}$ 这件事的意义。 $R(Y) \subseteq \operatorname{Hom}(Y, X)$ 是「能穿过某个 $X_{i}$」的那些映射。$R = h_{X}$ 就是说每个 $Y \to X$ 都能穿过某个 $X_{i}$。

  （$\Longleftarrow$） 设 $q$ 是满态射，即对任意 $T$ 与任意 $u, v : X \to T$，$u \circ q = v \circ q \implies u = v$。设 $g : Y \to X$。由余积的泛性质，$g$ 对应一族 $g \circ f_{i} : X_{i} \to Y \to X$…… 更直接地：把 $g$ 沿余积的泛性质写成 $g \circ q : \coprod_{i} X_{i} \to X$，它按构造分解为 $(g \circ f_{i})_{i}$。由 $q$ 满（右可消）得 $g$ 必须已经是 $q$ 的「商」—— 即存在某个 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$。所以 $R(Y) = \operatorname{Hom}(Y, X)$ 对所有 $Y$ 成立，$R = h_{X}$。

  （$\Longrightarrow$） 设 $R = h_{X}$。要证 $q$ 右可消。设 $u, v : X \to T$ 且 $u \circ q = v \circ q$。对每个 $i$ 有 $u \circ f_{i} = v \circ f_{i}$。对任意 $Y$ 与任意 $g : Y \to X$，由 $R = h_{X}$ 存在 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$，于是

  $$u \circ g = u \circ f_{i} \circ h = v \circ f_{i} \circ h = v \circ g$$

  取 $Y = X$、$g = 1_{X}$ 即得 $u = v$。所以 $q$ 是满态射。∎

  这条把「覆盖」这件听起来很几何的事，变成了一句纯箭头的话。以后凡是要在 site 上验覆盖，都可以改写成一个余积是否满射的问题。

定义引用 12

• 开覆盖给出覆盖 用到 本页定义引用

  结论就是「这族映射是覆盖」，用的是覆盖的定义。

• 覆盖筛构成滤子 用到 本页定义引用

  三条都是 Grothendieck 拓扑公理的改写。

• 拓扑公理的替代形式 用到 本页定义引用

  改写的正是拓扑公理的最后一条。

• 拓扑斯中覆盖即余积满射 用到 本页定义引用

  命题的左边是「$(X_{i} \to X)$ 是覆盖」，即生成覆盖筛。

• 层 用到 本页定义引用

  层的定义里那个 $J(X)$ 就是覆盖筛的族 —— 没有拓扑就不知道什么叫「覆盖」。

• 标准拓扑 用到 本页定义引用

  标准拓扑就是在所有拓扑里最细的那个（使可表示预层都是层）。

• 预标准拓扑 用到 本页定义引用

  预标准预拓扑生成的 Grothendieck 拓扑叫预标准拓扑。

• 拟紧对象 用到 本页定义引用

  拟紧说的是：任何生成覆盖筛的族都有有限的子族仍然生成覆盖筛。

• 覆盖筛的四条等价 用到 本页定义引用

  「$R \in J(X)$」里的 $J$ 是 Grothendieck 拓扑。

• 拓扑生成集 用到 本页定义引用

  拓扑生成集是相对 site 的拓扑说的。

• 诱导拓扑 用到 本页定义引用

  诱导拓扑本身是一条拓扑。

• Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限 用到 本页定义引用

  余极限沿 $\in J(X)$ 的覆盖筛取。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 筛 → 本页定义引用

  Grothendieck 拓扑是对每个 $X$ 指定一族覆盖筛 $J(X)$。

• 预层 → 本页定义引用

  $f^{*}(R) = R \times_{h_{X}} h_{Y}$ 是预层层面的拉回。

• 预拓扑 → 本页定义引用

  由覆盖族生成覆盖筛，预拓扑就给出一个拓扑；反过来不总有预拓扑。