常层函子保极限

说明

证明。 1. 预层范畴里的极限与余极限是逐点计算的：$(\varprojlim \Delta E_{i})(X) = \varprojlim (\Delta E_{i})(X) = \varprojlim E_{i} = E = (\Delta E)(X)$，且这在 $X$ 上自然（转移映射都是恒等）✓。于是 $\Delta E = \varprojlim \Delta E_{i}$ ✓。 2. 常层函子可以写成 $\underline{E} = a(\Delta E)$（$a$ 是层化）。而 $\Delta$ 还有一条更本质的刻画：它有一个左伴随，就是整体截面函子

（$1$ 是终对象）✓ —— 因为 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{T}}(1, \Delta E) = E$ 给出自然双射 $\Gamma \dashv \Delta$ ✓。右伴随保极限，所以 $\Delta$ 保一切极限；再由「层范畴中的极限与预层范畴中的极限一致」（层范畴中的极限逐点算，层化在极限上是恒等）得 $\underline{E} = \varprojlim\underline{E_{i}}$ ✓。∎

⭐ 一句话：「常」这个操作是右伴随，所以它把集合里的极限原样搬到层里。 后面把 $E = \varinjlim E_{i}$、$E \times S$ 这类构造搬进凝聚态世界时，用的就是这条。