截面函子

说明

它就是 $h_{X}$ 的 Hom 函子：$\Gamma(X, F) = \operatorname{Hom}_{\widetilde{\mathcal{C}}}(h_{X}, F) = F(X)$（米田引理）—— 所以截面函子不是新东西，它就是「用可表示预层去测 $F$」。

⭐ 保什么、不保什么：

• 保所有极限：层范畴里的极限是在预层范畴里逐点算的，而逐点算的极限在 $X$ 处当然还是那个极限。
• 一般不保余极限：余极限要先在预层里算、再层化，而层化之后在 $X$ 处取的值可能严格大于余极限。这就是「截面函子不正合」的全部内容。

什么时候保余极限：当 $X$ 在层范畴里投射时（$\operatorname{Hom}(h_{X}, -) = \Gamma(X,-)$ 保满态射），它保余极限。

⭐ 凝聚态那一侧的例子：$F \in \mathbf{FCHaus}$ 时 $\mathbb{Z}\cdot F$ 是投射的，于是 $\Gamma(F, -)$ 保所有极限与所有余极限 —— 那条命题是这里的一个特例。