层之间的 Hom 在预层里算

命题： $\operatorname{Hom}_{\widetilde{\mathcal{C}}}(T^{\#}, F) = \operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}(T, F)$

命题
依赖深度 layer 10
范畴论
层与拓扑

prop.sheaf-hom-computed-in-presheaves · 命题 · 层化 · 伴随 · Hom

又称Exercise 3.45

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是 site、 $T$ 是预层、 $F$ 是层。则

\operatorname{Hom}_{\widetilde{\mathcal{C}}}\bigl(T^{\#},\ F\bigr) \;=\; \operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}\bigl(T,\ F\bigr).

说明

证明。 层化 $(-)^{\#}$ 与含入互为一对伴随 ✓，于是

\operatorname{Hom}_{\widetilde{\mathcal{C}}}\bigl(T^{\#}, F\bigr) = \operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}\bigl(T,\ F\bigr) ✓

（右边把 $F$ 看成预层）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

预层 → 本页定义引用

右边的 Hom 在预层里算。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.45

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