层中单满即同构epi-mono factorization

说明

证明。 设 $u : F \to G$ 是层之间的态射。 1. 设 $u$ 既单又满。由满性（层中满态射的局部判据），对 $1_{G} \in G(G)$ 存在覆盖 $(G_{i}\to G)$ 与 $t_{i}\in F(G_{i})$ 使 $u(t_{i}) = 1_{G}|_{G_{i}}$。在双重拉回 $G_{i}\times_{G}G_{j}$ 上，$t_{i}$ 与 $t_{j}$ 的像都等于 $1_{G}$ 的限制，由 $u$ 单得 $t_{i}|= t_{j}|$ —— 相容 ✓。层条件给唯一的 $v \in F(G)$ 与 $v|_{G_{i}} = t_{i}$，于是 $u(v) = 1_{G}$（两边在覆盖上一致，层分离）。又 $u(v u) = u$，而 $u$ 单 $\implies v u = 1_{F}$。故 $u$ 同构 ✓。 2. 像分解：拓扑斯里每个态射都有 (满, 单) 分解（像 $=$ 层化后的余等化子）。设 $u = m e$ 与 $u = m' e'$ 是两个这样的分解。由 $m e = m' e'$ 与满-单的泛性，$e'$ 通过 $e$ 分解（$e$ 满、$m'$ 单，用「满 $\implies$ 左消去」得唯一分解），对称地 $e$ 通过 $e'$ 分解，两个分解互相比较得 $I \cong I'$ ✓。∎

这两条在 $\mathbf{Set}$ 里也对，但在层范畴里不是自动的，要证。它们恰好就是预拓扑斯（pretopos）公理的内容 —— 所以这个位置正是从「层」走向「拓扑斯」的接口。