层化

几条性质在 $\mathbf{Set}$ 里都是熟知的：余积就是不交并（万有）、满射就是像的商（正则）、滤过余极限与有限极限交换。

关键是把 $\mathbf{Set}$ 的性质搬到层范畴。做法分两步：先在预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里验证（预层范畴是函子范畴，一切逐点定义，因而逐点继承 $\mathbf{Set}$ 的性质），再用层化把结论送回层范畴。

而层化保有限极限与余极限（上一条定理的推论 2），所以「先算再层化」与「层化后再算」一致，性质就跟着过来了。

第 3 条具体证一下（其余同法）。设 $F \to G$ 是层范畴里的满态射。取它在层范畴中的满-单分解 $F \to I \rightarrowtail G$。对该分解层化（层上的层化是恒等），并用满态射的右可消性得 $I \to G$ 既满又单，于是是同构（前一条命题），所以 $I \cong G$ 落在 $F$ 的像里。

再由「满态射的局部判据」，$F \to G$ 是满的当且仅当局部有原像；把这个局部条件写成 $F \to G$ 的核对 $F \times_{G} F \rightrightarrows F$，就得到 $F \to G$ 是这对投影的余等化子 —— 即正则满。∎

（一）化到单个满态射。 令 $X_{0} := \coprod_{i} X_{i}$。满态射 $X_{0} \to X$ 的 Čech 脉的第 $n$ 项正是 $\coprod_{i_{0},\ldots,i_{n}} X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}} = X_{n}$ ✓，所以只需证明 $X_{0} \twoheadrightarrow X$ 的情形。 （二）$\mathcal{T} = \mathbf{Set}$。 满射有截面 $s$（选择公理）✓。沿截面取

它满足收缩同伦的恒等式 $1_{X_{n}} = s^{n+1} d_{n} + d_{n+1} s^{n}$ ✓（逐面展开即得），于是增广复形同伦平凡，特别地零调 ✓。这正是「带截面的覆盖上 Čech 零调」那条命题。 （三）$\mathcal{T} = \widehat{\mathcal{C}}$（预层）。 由上一条定理，预层范畴里的极限与余极限逐点算，而零调是「逐点取同调为零」，于是在每个 $X \in \mathcal{C}$ 处化回 (二) ✓。 （四）$\mathcal{T} = \widehat{\mathcal{C}}^{\#}$（site 上的层）。 任意满态射都是 $\widehat{\mathcal{C}}$ 中某个满态射的层化 ✓。层化正合（既保有限极限、又保余极限），所以它把预层版本的 Čech 脉逐项送过来、并保持复形的正合性；再由层化的正合性，预层版本的零调直接给出层版本的零调 ✓。∎

记 $\sharp := \widehat{H} \circ \widehat{H}$。

落到层上。 对任意预层 $T$，$\widehat{H}(T)$ 是分离的；再对分离的 $\widehat{H}(T)$ 用一次，得到的 $\widehat{H}(\widehat{H}(T))$ 是层（Čech 函子的性质 2）。所以 $T^{\sharp}$ 总是层。∎

从层出发不动。 设 $F$ 是层。由性质 3（$F$ 是层 $\iff F \to \widehat{H}(F)$ 是同构）得 $\widehat{H}(F) \cong F$，再做一次仍得到 $F$。所以 $\sharp$ 在层上是恒等 —— 这就是幂等性 $(T^{\sharp})^{\sharp} \cong T^{\sharp}$。∎

伴随性。 要证 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$（$F$ 是层）。先证 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$：由 $\widehat{H}$ 的定义逐点展开，

而 $\widehat{H}(T)(X) = \varinjlim_{R} \operatorname{Hom}(R, T)$ 是滤过余极限，故

这里只差最后一步：要用「$F$ 是层」把 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(R, T), F(X))$ 换回 $T(X)$ 那一侧 —— 这一步是米田引理与层条件的联手（$\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$ 对 $R \in J(X)$ 成立）。逐项套回去即可。于是 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$，再对 $\widehat{H}(T)$ 用一次（此时它是分离的、用到性质 3）就得到 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$。∎

反射子范畴。 以上合起来：$\sharp$ 是左伴随、在层上取恒等、且每个对象都映到层里。按反射子范畴的判据，这就是「层范畴是预层范畴的反射子范畴，反射是 $\sharp$」。∎