拓扑斯

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Giraud 定理推出
  Giraud 定理的证明

  (2) $\implies$ (3)。 取 $\mathcal{C} = \mathcal{T}$，配上 $\mathcal{T}$ 上的标准拓扑。此时层范畴就是 $\mathcal{T}$ 自己（因为标准拓扑下的层恰好是可表示的那些），于是 $\mathcal{T} \simeq \widehat{\mathcal{C}}$。∎

  (3) $\implies$ (4)。 预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，而层范畴是它的反射子范畴，反射（层化）保有限极限 —— 这正是 (4) 的形式。∎

  (4) $\implies$ (1)。 设 $\mathcal{T}$ 是 $\widehat{\mathcal{C}}$ 的反射子范畴，反射 $\sharp$ 正合。$\widehat{\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，其中「有限极限 / 余积 / 等价关系」都是逐点算的、性质都好。反射子范畴对极限封闭（含入函子是右伴随），反射保有限极限与余极限，两份合起来把拓扑斯的四条公理逐一运到 $\mathcal{T}$ 上：有限极限来自含入函子，余积与商来自「先在大范畴里算、再反射回去」，小生成元集取那些可表示预层的层化。∎

  (1) $\implies$ (2)。 给 $\mathcal{T}$ 配标准拓扑。要证每个层都可表示。任取层 $F$。

  设 $S$ 是 $\mathcal{T}$ 的小生成元集。由 $S$ 生成，可以造出满态射

  $$\coprod_{i \in I} X_{i} \longrightarrow F, \qquad X_{i} \in \mathcal{T}$$

  （把每个 $X \in S$ 到 $F$ 的态射全体拼起来，生成性保证这族箭头合起来是满的。）每个 $X_{i}$ 作为可表示层是可表示的；再由 $F$ 是层，$X_{i} \times_{F} X_{j}$ 也在 $\mathcal{T}$ 里因而是可表示的。

  于是前提全部满足，下降引理给出 $F$ 可表示 —— 具体地 $F \cong X/R$，其中 $X = \coprod_{i} X_{i}$、$R = \coprod_{i,j} X_{i} \times_{F} X_{j}$。∎

  四条里最不平凡的一步是 $(1) \implies (2)$：把一个抽象拓扑斯里的任意层，用小生成元集造一个覆盖，再用下降引理把「可表示」从覆盖的每一块传回整体。

定义引用 8

• 茎与分离预层 用到 本页定义引用

  把点看成拓扑斯态射 $1 \to \operatorname{Sh}(X)$，用的是拓扑斯之间的态射。

• 切片上的正合左伴随 用到 本页定义引用

  切片拓扑斯上的这对伴随。

• Giraud 定理 用到 本页定义引用

  Giraud 定理给出「是拓扑斯」的四个等价说法。

• 拓扑斯中覆盖即余积满射 用到 本页定义引用

  命题在拓扑斯里把「覆盖」与余积满射对起来。

• 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴 用到 本页定义引用

  定理对拓扑斯 $\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层说话。

• 拓扑斯的态射 用到 本页定义引用

  态射是拓扑斯之间的一对函子。

• 内 Hom 用到 本页定义引用

  内 Hom 定义在拓扑斯 $\mathcal{T}$ 上。

• Breen–Deligne 分解 用到 本页定义引用

  结论在任意拓扑斯里成立。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 预拓扑斯 → 本页定义引用

  拓扑斯就是「带小生成元集」的预拓扑斯。

• 生成元集 → 本页定义引用

  第 1 条要求存在小生成元集。