预标准拓扑下的层

预标准拓扑下「层」的两条等式

prop.precanonical-sheaf · 范畴论 · 层 · 预标准

又称预标准拓扑下的层·Exercise 3.36·Proposition 3.3.3·Exercise 3.37

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是预拓扑斯、配预标准拓扑。预层 $F$ 是层 $\iff$ 对每个有限族 $(X_{i} \to X)$ 且 $\coprod_{i} X_{i} \to X$ 满，

F(X) \;\cong\; \ker\Bigl(\prod_{i} F(X_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j})\Bigr)

等价地，下面两条同时成立：

F\Bigl(\coprod_{i \in I} X_{i}\Bigr) \;\cong\; \prod_{i \in I} F(X_{i}), \qquad R \text{ 是 } X \text{ 上的等价关系} \implies F(X/R) \;\cong\; \ker\bigl(F(X) \rightrightarrows F(R)\bigr)

证明。 设覆盖族 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$ （有限、 $\coprod_{i}X_{i} \to X$ 满）。层条件是对每个这样的族

F(X) \to \prod_{i}F(X_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j}F(X_{i}\times_{X}X_{j})

为等化子。

「余积变积」：取单支覆盖 $X \to X$ （它当然满），则层条件退化成 $F(X) \cong F(X)$ 的平凡等式 —— 有限余积的层条件要把 $I$ 取成各支自身：对有限族 $(X_{i})$ ， $\coprod_{i}X_{i} \to \coprod_{i}X_{i}$ 满，层条件给出 $F(\coprod_{i}X_{i}) \cong \prod_{i}F(X_{i})$ ✓（与余积交换 == 与有限积交换，因为 $F$ 是 $\mathbf{Set}$ 值）。
「商变核」：一般族的覆盖条件里， $\coprod_{i}X_{i} \to X$ 是满态射，于是它在预拓扑斯里是有效满的： $R := \coprod_{i,j}X_{i}\times_{X}X_{j}$ 是 $\coprod_{i}X_{i}$ 上的等价关系，而 $X$ 是这个关系的商（余等化子）。于是层条件读作 $F(X) \cong \ker\bigl(F(\coprod X_{i}) \rightrightarrows F(R)\bigr)$ ；再接上「余积变积」就得到陈述里的第一条等式 ✓。反过来取 $X = X/R$ 的商映射作覆盖，得 $F(X/R) \cong \ker(F(X)\rightrightarrows F(R))$ ✓。
合起来：两条所说正是所有覆盖（都是有限族、余积满）的层条件 ✓。
推论： $h_{X} = \operatorname{Hom}(X,-)$ 满足两条（Hom 把余积送成积、把商送成核），故每个可表示预层都是层 —— 即预标准拓扑是次标准的 ✓。∎

这两条把「层」写成了两条在 $\mathbf{Set}$ 里显然、在这里需要验的等式：有限余积变有限积、商变核。它们正是「预拓扑斯里的余积与商和集合里长得一样」的精确说法。

推论：预标准拓扑是次标准的 —— 可表示预层 $h_{X}$ 满足上面两条（ $\operatorname{Hom}(X, -)$ 保积， $\operatorname{Hom}(X/R, -)$ 由余等化子给出核），所以它们都是层。