切片上的上同调就是原上同调

命题： $H^{n}\bigl(\mathbf{1}_{X}, j_{X}^{-1}M^{\bullet}\bigr) = H^{n}(X, M^{\bullet})$

prop.cohomology-slice-identification · 命题 · 切片拓扑斯 · 层上同调 · 保内射

又称Exercise 7.59

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯、 $X \in \mathcal{T}$ 、 $M^{\bullet}$ 是阿贝尔群复形。则

H^{n}\bigl(\mathbf{1}_{X},\ j_{X}^{-1}M^{\bullet}\bigr) \;=\; H^{n}\bigl(X,\ M^{\bullet}\bigr),

其中 $\mathbf{1}_{X}$ 是切片拓扑斯 $\mathcal{T}/X$ 的终对象。

证明。 先看 $0$ 次：

\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z},\ j_{X}^{-1}M\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{X!}\mathbb{Z},\ M\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X,\ M\bigr) = M(X) ✓

再用「 $j_{X}^{-1}$ 有正合左伴随，因而保内射」✓，于是两边的内射消解一一对应，取导出函子即得等式 ✓。∎

切片左伴随作用在 Z 上 ⟹ 本页推出

$j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ $\implies$ 切片上的上同调就是原上同调

$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, j_{X}^{-1}M) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(j_{X!}\mathbb{Z}, M) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot X, M) = M(X)$ ✓，两端作为函子相同。又 $j_{X}^{-1}$ 有正合左伴随，因而保内射 ✓，所以两边可以用同一批内射消解取导出函子，得到 $H^{n}(\mathbf{1}_{X}, j_{X}^{-1}M^{\bullet}) = H^{n}(X, M^{\bullet})$ ✓。∎