单满在层化后不变

说明

证明。 记层化为 $(-)^{\sharp}$。

• $(\implies)$：层化是到层范畴的左伴随，故保余极限，特别保满态射；又是左正合的（保有限极限），故保单态射 ✓。
• $(\Longleftarrow)$：预标准拓扑是次标准的，所以 $h_{X}^{\sharp} \cong h_{X}$、$h_{Y}^{\sharp} \cong h_{Y}$，且 $f^{\sharp}$ 在 Yoneda 嵌入下的像就是 $h_{f}$。
• 对可表示预层：$h_{f}$ 单 $\iff$ $f$ 单（Yoneda 双射把 $h_{f}(Z)$ 的诱导映射写成「与 $f$ 复合」，单射性逐点验出）；$h_{f}$ 满 $\iff$ $f$ 满（$\mathbf{Set}$ 值预层范畴中的满态射逐点判定；一边取 $Z = Y$ 与 $1_{Y}$，另一边用 $\operatorname{Hom}(Z,-)$ 保满态射）✓。
• 于是 $h_{f}$ 单（满）$\iff$ $h_{f}^{\sharp}$ 单（满），两头接起来即得 ✓。∎

所以「谁是单的、谁是满的」在 $\mathcal{C}$ 里和它在层范畴里问出来是同一个答案。这在后面起作用：Giraud 定理里把 $\mathcal{C}$ 换成 $\mathcal{T}$ 再配标准拓扑时，单满关系不会走样。