对象给出拓扑斯态射

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 终映射给出的拓扑斯态射推出
  对象给出的拓扑斯态射 $\implies$ 终映射的情形

  取 $X \in \mathbf{Top}$ 与到单点的映射 $p : X \to \mathbf{1}$ ✓。沿 $p$ 的推前就是「在 $X$ 上取整体截面」$p_{*}\mathcal{F} = \Gamma(X, \mathcal{F})$ ✓；拉回把集合 $E$ 送到 $X$ 上的常层 $p^{-1}E = \widetilde{E}_{X}$ ✓（常层就是离散空间给出的层）。 再对连续映射 $f : Y \to X$ 用「拉回关于复合相容」：$q = p \circ f$ 给出 $\widetilde{E}_{Y} = q^{-1}E = f^{-1}p^{-1}E = f^{-1}\widetilde{E}_{X}$ ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 任意函子诱导拓扑斯态射 ⟹ 本页推出
  任意函子诱导拓扑斯态射 $\implies$ 对象给出 $\widehat{X}$

  把 $X$ 看成函子 $X : \mathbf{1} \to \mathcal{C}$ ✓，由「任意函子诱导拓扑斯态射」即得 $\widehat{X}_{!} \dashv \widehat{X}^{-1} \dashv \widehat{X}_{*}$ ✓；三条公式由 Kan 延拓的逐点公式（逗号范畴上的余极限/极限）算出 ✓。∎

定义引用 1

• 拓扑斯的态射 → 本页定义引用

  结论是「给出一个拓扑斯态射」。