拓扑斯中覆盖即余积满射

说明

证明。

• $(\Longleftarrow)$：标准拓扑里，族 $(X_{i}\to X)$ 是覆盖当且仅当 $\coprod_{i}X_{i} \to X$ 是满态射，这正是定义 ✓。
• $(\implies)$：设 $(X_{i}\to X)$ 覆盖。在层范畴里取 $s := 1_{X} \in h_{X}(X)$。由「层中满态射的局部判据」，只要在每支上找到 $s|_{X_{i}}$ 的原像：取 $t_{i} := 1_{X_{i}} \in h_{X_{i}}(X_{i})$，它在 $h_{X}(X_{i})$ 里的像就是 $X_{i} \to X$ 这个态射，正是 $s|_{X_{i}}$ ✓。故 $\coprod_{i}h_{X_{i}} \to h_{X}$ 是满态射 ✓。
• 两个方向合起来：在拓扑斯里，「覆盖」可以完全用余积 + 满态射这两个纯范畴概念表达，不需要几何残余 ✓。∎

这条在一般 site 里也对，但在拓扑斯里更顺手：拓扑斯的余积是「好」的（不交、万有），所以「覆盖」这个词在这里完全可以用余积与满射这两个纯范畴概念替换掉，一点几何残余都不剩。