拓扑斯上的层即保极限的预层

谁指向它（入边）

推出 1

• 层、标准拓扑 ⟹ 本页推出
  拓扑斯上的层 $\iff$ 保极限

  (层 $\implies$ 保极限) 设 $F$ 是层，$R$ 是 $X$ 的覆盖筛。按标准拓扑的定义，$R \in J(X)$ 恰好意味着

  $$X \;\cong\; \varinjlim_{X' \to X \in R} X'$$

  （每个从 $X$ 出发的箭头都能被 $R$ 里的箭头穿过。）把 $F$ 作用上去：

  $$F(X) \;\cong\; \varprojlim_{X' \to X \in R} F(X')$$

  左边是 $\operatorname{Hom}(h_{X}, F)$、右边是 $\operatorname{Hom}(R, F)$，这正是层的双射条件。∎

  (保极限 $\implies$ 层) 反过来，若 $F$ 保所有极限，把上式倒过来读：对每个 $R \in J(X)$，$F(X) \cong \varprojlim_{X' \in \mathcal{C}/R} F(X')$，而右边与 $\operatorname{Hom}(R, F)$ 同构（前面的计算），所以 $F$ 是层。∎

  证明短得出奇 —— 因为标准拓扑对覆盖筛的规定，本来就是「$X$ 是这些 $X'$ 的余极限」。所以「层」在拓扑斯上等于「把余极限送回极限」，几何与范畴在这里合成一句话。

定义引用 2

• 层 → 本页定义引用

  命题把「是层」与「保所有极限」说成一回事。

• 极限 → 本页定义引用

  「保极限」是命题的另一半。