拉回与内 Hom、张量积相容

命题： $f_{*}\operatorname{Hom}(f^{-1}M, N) = \operatorname{Hom}(M, f_{*}N)$ ， $f^{-1}(M \otimes N) \cong f^{-1}M \otimes f^{-1}N$

命题
依赖深度 layer 19
范畴论
拓扑斯

prop.inverse-image-tensor · 命题 · 拓扑斯态射 · 张量积 · 内 Hom · 拉回

又称Exercise 7.52·Exercise 3.51

陈述

设 $f : \mathcal{T} \to \mathcal{T}'$ 是拓扑斯态射、 $M, N$ 是阿贝尔群层。则

f_{*}\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(f^{-1}M,\ N\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(M,\ f_{*}N\bigr), \qquad f^{-1}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} N\bigr) \cong f^{-1}M \otimes_{\mathbb{Z}} f^{-1}N.

说明

证明。 第一条把伴随 $f^{-1} \dashv f_{*}$ 与内 Hom 的伴随性串起来 ✓（两边在测试对象上给出的自然同构是同一个）。

第二条： $f^{-1}$ 是左伴随因而保余极限 ✓，而张量积是幺半结构里的余极限（商的余核）✓；也可以逐点验证 ✓。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 切片的投影公式推出

伴随 + 张量相容 $\implies$ 切片的投影公式

把两边对到同一处 Hom：用 $j_{X!} \dashv j_{X}^{-1}$ 把左边的 Hom 换到 $\operatorname{Hom}(M \otimes j_{X}^{-1}N, j_{X}^{-1}-)$ ，再用 $f^{-1}$ 与张量积的相容性 ✓，由米田引理得同构 ✓。最后一式取 $N = \mathbb{Z}$ ，并用 $j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

阿贝尔层的张量积 → 本页定义引用

第二条公式里的张量积。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.52

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