余积与商在层范畴中不变

预标准拓扑下余积与商不变

prop.precanonical-preserves · 范畴论 · 层 · 余积

又称余积与商在层范畴不变

陈述

设 C\mathcal{C} 是预拓扑斯、配预标准拓扑。则

  1. II 有限时，∐i∈IXi\coprod_{i \in I} X_{i} 在层范畴中仍然是那个余积；
  2. 若 RR 是 XX 上的等价关系，则商 X/RX/R 在层范畴中仍然是那个商。

也就是说：C\mathcal{C} 与 C\mathcal{C} 中的 X↦hXX \mapsto h_{X} 之间，余积与商两边算出来一样。

说明

证明一句话：对任意层 FF，由 FF 是层（上一条的乘积等式）得 Hom⁡(X∐Y,F)=F(X∐Y)≅F(X)×F(Y)=Hom⁡(X,F)×Hom⁡(Y,F)=Hom⁡(X∐Y,F)\operatorname{Hom}(X \coprod Y, F) = F(X \coprod Y) \cong F(X) \times F(Y) = \operatorname{Hom}(X, F) \times \operatorname{Hom}(Y, F) = \operatorname{Hom}(X \coprod Y, F)，所以层范畴里这个余积的泛性质原样成立。商的情形是把正合列 F(X/R)→F(X)⇉F(R)F(X/R) \to F(X) \rightrightarrows F(R) 读成 Hom⁡(X/R,F)≅ker⁡(Hom⁡(X,F)⇉Hom⁡(R,F))\operatorname{Hom}(X/R, F) \cong \ker\bigl(\operatorname{Hom}(X, F) \rightrightarrows \operatorname{Hom}(R, F)\bigr)。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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