点给出的拓扑斯态射

命题：x:1→Xx : \mathbf{1} \to X 给出 (x∗E)(U)=E(x_{*}E)(U) = E（x∈Ux \in U）与 x−1F=Fxx^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}_{x}

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又称Exercise 3.56

陈述

设 XX 是拓扑空间、x:1→Xx : \mathbf{1} \to X 是一个点。则它给出的拓扑斯态射满足

(x∗E)(U)={Ex∈U,∅x∉U,x−1F=Fx.(x_{*}E)(U) = \begin{cases} E & x \in U,\\ \emptyset & x \notin U,\end{cases} \qquad x^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}_{x}.

也就是说：推前是「只看 xx 的开邻域」的常层，拉回就是茎。

说明

证明。 x∗Ex_{}E 的取值是「拉回 x−1(U)x^{-1}(U) 的」：x−1(U)x^{-1}(U) 在单点空间里要么是空集要么是全空间 ✓，于是取值如式 ✓。x−1x^{-1} 是 x∗x_{} 的左伴随，由伴随公式 Hom⁡(x−1F,E)=Hom⁡(F,x∗E)=Fx\operatorname{Hom}(x^{-1}\mathcal{F}, E) = \operatorname{Hom}(\mathcal{F}, x_{*}E) = \mathcal{F}_{x}-型的计算即得它就是茎 ✓（也可直接用「茎 = 沿 xx 的开邻域取滤过余极限」）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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