预拓扑斯由拓扑斯唯一确定

谁指向它（入边）

推出 1

• 拟紧对象、拟分离对象、预标准拓扑 ⟹ 本页推出
  拟紧拟分离层 $\iff$ 小对象

  函子性：$X \mapsto h_{X}$ 是米田嵌入，全忠实。要证的是它的本质满性。

  （小对象 $\implies$ 拟紧且拟分离） 设 $X \in \mathcal{C}$。任给覆盖 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$，即 $\coprod_{i} X_{i} \to X$ 是满态射。由预标准拓扑的定义，覆盖只由有限族给出，所以 $X$ 拟紧（有限子覆盖就是自己）。

  拟分离：设 $Y \to X$、$Z \to X$ 且 $Y, Z$ 拟紧。要证 $Y \times_{X} Z$ 拟紧。由第 3 条性质（拟紧 $\iff$ 存在小对象到它的满射），取满射 $Y' \to Y$、$Z' \to Z$（$Y', Z' \in \mathcal{C}$），则

  $$Y' \times_{X} Z' \longrightarrow Y \times_{X} Z$$

  是满射，而左边的纤维积在 $\mathcal{C}$ 里（$\mathcal{C}$ 有有限极限），所以 $Y \times_{X} Z$ 有小对象满射覆盖，因而拟紧。∎

  （拟紧且拟分离 $\implies$ 小对象） 设 $F$ 拟紧，则由性质 3 存在满射 $X \to F$（$X \in \mathcal{C}$）。要把它压成一个同构。

  取核对 $R := X \times_{F} X$。因为 $F$ 拟分离、而 $X$ 拟紧，两个投影 $X \to F$ 使 $R$ 是「两个拟紧对象沿拟分离对象的纤维积」，所以 $R$ 也拟紧；再由性质 3 得到 $R$ 被某个 $R_{0} \in \mathcal{C}$ 满射覆盖。

  于是 $X \to F$ 是 $\mathcal{C}$ 中一个「核在小对象里」的满射，由等价关系的有效性，$F \cong X/R$ 落在 $X \mapsto h_{X}$ 的像里。∎

  拟紧给出「能被小对象盖住」，拟分离给出「连交叠处也能被小对象盖住」；两个合起来才够把任意拟紧拟分离层拉回成一个小对象。这就是为什么定义里要两条而不是一条。

定义引用 2

• 拟紧对象 → 本页定义引用

  定理的两边之一是拟紧。

• 拟分离对象 → 本页定义引用

  另一边是拟分离。