切片左伴随作用在 Z 上

命题： $j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$

prop.slice-shriek-z · 命题 · 切片拓扑斯 · 自由对象 · 伴随

又称Exercise 7.58

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯、 $X \in \mathcal{T}$ 。则

j_{X!}\mathbb{Z} \;=\; \mathbb{Z}\cdot X.

证明。 逐条用伴随：

\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{X!}\mathbb{Z},\ M\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z},\ j_{X}^{-1}M\bigr) = \operatorname{Hom}\bigl(\mathbf{1}_{X},\ j_{X}^{-1}M\bigr) = \operatorname{Hom}(X,\ M) ✓

最后一式用了「 $X$ 上方的终对象给出 $\operatorname{Hom}(\mathbf{1}_{X}, j_X^{-1}M) = M(X) = \operatorname{Hom}(X,M)$ 」✓。与 $\mathbb{Z}\cdot X$ 的万有性质比对，由米田引理即得 ✓。∎

本页 ⟹ 切片上的上同调就是原上同调推出

$j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ $\implies$ 切片上的上同调就是原上同调

$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, j_{X}^{-1}M) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(j_{X!}\mathbb{Z}, M) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot X, M) = M(X)$ ✓，两端作为函子相同。又 $j_{X}^{-1}$ 有正合左伴随，因而保内射 ✓，所以两边可以用同一批内射消解取导出函子，得到 $H^{n}(\mathbf{1}_{X}, j_{X}^{-1}M^{\bullet}) = H^{n}(X, M^{\bullet})$ ✓。∎
本页 ⟹ 切片的投影公式推出

伴随 + 张量相容 $\implies$ 切片的投影公式

把两边对到同一处 Hom：用 $j_{X!} \dashv j_{X}^{-1}$ 把左边的 Hom 换到 $\operatorname{Hom}(M \otimes j_{X}^{-1}N, j_{X}^{-1}-)$ ，再用 $f^{-1}$ 与张量积的相容性 ✓，由米田引理得同构 ✓。最后一式取 $N = \mathbb{Z}$ ，并用 $j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ ✓。∎