连续函子（site 之间）

连续函子（Continuous Functor between Sites）

def.continuous-functor · 范畴论 · site · 连续函子 · 态射

又称连续函子·continuous functor·Definition 3.4.4·Def 3.4.4·Exercise 3.54·Exercise 3.58

陈述

设 $\mathcal{C}, \mathcal{C}'$ 是两个 site。函子

f^{-1} := g : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'

叫连续的，如果沿 $g$ 的预复合把 $\mathcal{C}'$ 上的层拉回成 $\mathcal{C}$ 上的层：

g^{*} : \widetilde{\mathcal{C}'} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{C}}, \qquad F \longmapsto F \circ g, \qquad \text{落在层范畴里。}

读法： $g$ 的方向是 $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ ，但层是反变的，所以 $g$ 把 $\mathcal{C}'$ 上的层拉回到 $\mathcal{C}$ 上。这个「方向拧一下」是 site 态射的一切别扭之处。

⭐ 它等价于： $g$ 把 $\mathcal{C}'$ 的覆盖族拉回成 $\mathcal{C}$ 的覆盖族（覆盖筛的原像还是覆盖筛）。所以「连续」= 「覆盖关系被保住了」。

记号： $f^{-1}$ 这个名字来自拓扑：空间之间的连续映射 $f : X \to Y$ 给出开集范畴之间的函子 $f^{-1} : \operatorname{Open}(Y) \to \operatorname{Open}(X)$ （取原像），而层沿它拉回。

📌 下一步：再加一条「 $f^{-1}$ 是左正合的」，就得到 site 的态射。