任意函子诱导拓扑斯态射

定理：g^!⊣g^−1⊣g^∗\hat{g}_{!} \dashv \hat{g}^{-1} \dashv \hat{g}_{*}，于是 g^\hat{g} 是拓扑斯的态射

thm.induced-topos-morphism · 定理 · 拓扑斯态射 · 预层范畴 · 左伴随 · 右伴随

又称Theorem 3.4.2·Thm 3.4.2·Corollary 3.4.3·Cor 3.4.3

陈述

设 g:C→C′g : \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 是任意函子。则预复合

g^−1:C′^⟶C^,T′⟼T′∘gop\hat{g}^{-1} : \widehat{\mathcal{C}'} \longrightarrow \widehat{\mathcal{C}}, \qquad T' \longmapsto T' \circ g^{\mathrm{op}}

既有一个左伴随 g^!\hat{g}_{!}，又有一个右伴随 g^∗\hat{g}_{*}。特别地 g^−1\hat{g}^{-1} 正合，于是

g^:C^⟶C′^,g^∗:=g^−1 ⊣ g^∗\hat{g} : \widehat{\mathcal{C}} \longrightarrow \widehat{\mathcal{C}'}, \qquad \hat{g}^{*} := \hat{g}^{-1} \ \dashv\ \hat{g}_{*}

是拓扑斯的态射。也就是说，任意函子都诱导预层范畴之间的态射，方向与 gg 相反。

说明

⭐ 一句话读法：gg 只是范畴之间的一条箭头，可是一旦取预层范畴，它自动长出两边的伴随 —— 左边 g^!\hat{g}_{!} 与右边 g^∗\hat{g}_{*}。于是「函子」到了预层这一层就升级成「拓扑斯态射」。

⚠️ 方向容易记反：g:C→C′g : \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 而 g^:C^→C′^\hat{g} : \widehat{\mathcal{C}} \to \widehat{\mathcal{C}'}，推前 g^∗\hat{g}_{*} 沿 gg 的方向走、拉回 g^−1\hat{g}^{-1} 反着走。

📌 这条是「拓扑空间 / site 之间的映射给出拓扑斯态射」的一般引擎；它在第 4 章被用来把 CHaus\mathbf{CHaus} 上的层与更小 site 上的层对齐。

它指向谁（出边）

推出 1

谁指向它（入边）

推出 1

定义引用 1

参考

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