预层范畴的极限与余极限

说明

证明。 分两步。 （一）逐点定义确实给出极限（余极限）。 在 $\mathbf{Set}$ 里对每个 $X \in \mathcal{C}$ 取那族集合的极限（或余极限）；对态射 $f : Y \to X$，限制映射 $\bigl(\varprojlim T_i\bigr)(X) \to \bigl(\varprojlim T_i\bigr)(Y)$ 由极限的泛性质给出（余极限那一侧由余极限的泛性质给出）✓。这样得到的预层连同逐点给出的锥（余锥）满足泛性质：一个锥到 $\varprojlim T_i$ 的映射在每一点 $X$ 处都唯一确定，而泛性质是逐点陈述的，所以在每一点成立就在整体成立 ✓。 （二）$\mathbf{Set}$ 完备且余完备。

• 小极限存在：小积存在（选择公理给出选择函数的集合）；等化子存在（$\{x : f(x) = g(x)\}$ 是子集）；而极限由积与等化子造，所以所有小极限存在 ✓。
• 小余极限存在：小余积是不交并；余等化子是商集；对偶地所有小余极限存在 ✓。

两步合起来：对每个 $X$ 逐点取 $\mathbf{Set}$ 里的极限（余极限）得到 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里的极限（余极限）✓，而「求值函子保极限余极限」就是「逐点算」的另一种说法 ✓。∎

⭐ 这是后面几乎所有构造的地基：预层范畴的好处正是「极限余极限不花钱」，于是在它里面可以做各种形式构造，再把结果层化回去。

⚠️ 「逐点算」只对极限与余极限成立，不对一般的东西成立 —— 层化、内 Hom、层上同调都不是逐点的。