表示的两个定义等价representable iff hom

谁指向它（入边）

推出 1

• 米田引理 ⟹ 本页推出
  米田引理 $\implies$ 表示的两个定义等价

  （$\Longleftarrow$） 设 $h^{X} \cong F$，取一个自然同构 $\alpha : h^{X} \implies F$。由米田引理，$\alpha$ 由元素 $s = \alpha_{X}(1_{X}) \in F(X)$ 决定；反过来，给定 $s$ 也能定义出 $\alpha$。

  要证 $(X, s)$ 万有。固定 $Y$，则由 $\alpha$ 是自然同构，$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to F(Y)$ 是双射。对任意 $t \in F(Y)$，记 $f = \alpha_{Y}^{-1}(t)$，即 $\alpha_{Y}(f) = t$。

  再用 $\alpha$ 的自然性（取 $f : X \to Y$）：

  $$\alpha_{Y}(f) = F(f)\bigl(\alpha_{X}(1_{X})\bigr) = F(f)(s)$$

  于是 $F(f)(s) = t$，且 $f$ 由 $\alpha_{Y}^{-1}$ 唯一确定。这就是万有元素的条件。∎

  （$\Longrightarrow$） 反过来设 $(X, s)$ 万有。对每个 $Y$ 定义

  $$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to F(Y), \qquad f \mapsto F(f)(s)$$

  万有性说的正是「对每个 $t \in F(Y)$ 存在唯一 $f$ 使 $F(f)(s) = t$」，所以每个 $\alpha_{Y}$ 都是双射。剩下要检查的只有自然性：对 $g : Y \to Z$，两个复合 $\alpha_{Z} \circ \operatorname{Hom}(X, g)$ 与 $F(g) \circ \alpha_{Y}$ 都把那片 $f : X \to Y$ 送到 $F(g \circ f)(s)$，所以相等。于是 $\alpha : h^{X} \implies F$ 是自然同构，$h^{X} \cong F$。∎

  这条的意义在于：要证明一个函子可表示，只要找到那个万有元素，同构自动就有了。

定义引用 1

• 表示函子 → 本页定义引用

  定理的左右两边都是「被 $X$ 表示」这件事的说法。