切片范畴是拉回

说明

证明。 需要证 $\mathcal{C}/T \to \mathcal{C}\times_{\widehat{\mathcal{C}}}\widehat{\mathcal{C}}/T$ 是等价。

• 对象：$\mathcal{C}/T$ 的对象是 $p : X \to T$（$X\in\mathcal{C}$）；由 Yoneda，$\operatorname{Hom}(h_{X}, T) \cong T(X)$，所以 $p$ 与一个态射 $h_{X}\to T$ 一一对应 —— 而右边拉回的对象的正是「$X \in \mathcal{C}$ 连同 $h_{X}\to T$」✓。
• 态射：$\mathcal{C}/T$ 中 $p \to p'$ 是交换三角（$X\to X'$ 与 $T$ 上的相容性）；把 Yoneda 嵌入作用上去得到 $h_{X}\to h_{X'}$ 与 $h_{X}\to T$ 的相容对，右边正是一对这样的数据。由 Yoneda 嵌入全忠实（$\operatorname{Hom}(h_{X},h_{X'}) \cong \operatorname{Hom}(X,X')$），这个对应在 Hom 上是双射 ✓。
• 函子性 / 等价：对应在复合下保持（Yoneda 是函子）✓ 于是得到一个范畴等价，即原方块笛卡尔 ✓。
• 特例：取 $T = h_{X}$，得 $\mathcal{C}/X \simeq \widehat{\mathcal{C}}/h_{X}$ —— 在 $\mathcal{C}$ 里沿 $X$ 切片与在预层范畴里沿 $h_{X}$ 切片是同一件事 ✓。∎

也就是说：切片范畴 $\mathcal{C}/T$ 就是遗忘函子 $\widehat{\mathcal{C}}/T \to \widehat{\mathcal{C}}$ 沿 Yoneda 嵌入拉回来的东西。

特例最能说明问题：$T = h_{X}$（可表示）时，方块给出 $\mathcal{C}/X \simeq \widehat{\mathcal{C}}/h_{X}$ —— 在 $\mathcal{C}$ 里沿 $X$ 切片，与在预层范畴里沿 $h_{X}$ 切片，是同一件事。