稠密性定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 米田引理、切片范畴 ⟹ 本页推出
  米田引理 $\implies$ 稠密性定理

  对每个 $(X, s) \in \mathcal{C}_{T}$，由 $s \in T(X)$ 与米田引理的对偶形式，有唯一对应的自然变换

  $$\alpha^{s} : h_{X} \implies T, \qquad \alpha^{s}_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \to T(Y),\quad \psi \mapsto T(\psi)(s)$$

  切片范畴里的态射恰好是让这些 $\alpha^{s}$ 彼此相容的那些 $f$，所以 $\{\alpha^{s}\}_{(X,s)}$ 构成一个余锥，诱导出

  $$\Theta : \varinjlim_{(X, s) \in \mathcal{C}_{T}} h_{X} \longrightarrow T$$

  要证 $\Theta$ 是同构。逐点检验：对 $Y \in \mathcal{C}$，

  $$\Bigl(\varinjlim_{(X,s)} h_{X}\Bigr)(Y) = \varinjlim_{(X,s)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \longrightarrow T(Y)$$

  而右边这个集合正是「以 $(X, s)$ 为指标、把每个 $\psi : Y \to X$ 送到 $T(\psi)(s) \in T(Y)$」的余极限。取 $(X, s) = (Y, t)$ 与 $\psi = 1_{Y}$，这一项的像就是 $t$ 本身；反过来，自然性 $T(\psi)(s) \in T(Y)$ 说明每一项都已经落在 $T(Y)$ 里。于是对每个 $t \in T(Y)$ 都有来源，且不同的 $t$ 给出不同的项 —— 逐点双射。∎

  把这条和米田引理并排看：米田说「$h_{X}$ 到 $T$ 的箭头 = $T$ 在 $X$ 处的元素」，稠密性把它反过来用 —— 既然元素就是箭头，那么全部元素（即 $\mathcal{C}_{T}$）就决定了 $T$ 自己。

定义引用 2

• 极限 → 本页定义引用

  稠密性定理说 $T$ 是可表示预层的余极限。

• 切片范畴 → 本页定义引用

  稠密性定理里的余极限正是跑在切片范畴 $\mathcal{C}_{T}$ 上的。