有限表现对象

说明

直观：「测 $X$」不需要等到极限做完 —— 从 $X$ 出发的映射在有限阶段就已经确定，后面的滤过余极限只是把它们拼起来。所以「紧」=「不往无穷处伸手」。

例子：有限集（$\mathbf{Set}$ 里）、有限生成模（$A\text{-}\mathbf{Mod}$ 里）、有限 CW 复形（拓扑里）。$\mathbb{R}$ 在 $\mathbf{Top}$ 里不是紧的（$\mathbb{R}$ 是有限区间的滤过余极限，但 $\operatorname{Hom}(\mathbb{R},-)$ 不保那个余极限）。

⭐ 在同调代数里的用处：$X$ 有限表现 $\iff$ $h^{X}$ 保滤过余极限 $\iff$ $X$ 是「小」的测试对象。凝聚态那一侧「CondAb 由有限表现的投射对象生成」正是靠它 —— 有限表现的投射对象是 $\mathrm{CondAb}$ 的生成元。

⚠️ 「有限表现」与「有限生成」不同：有限生成只要求有一个满射 $A^{n} \twoheadrightarrow M$；有限表现还要求核也是有限生成的（即 $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$ 正合）。