预层

预层（Presheaf）

def.presheaf · 范畴论 · 预层 · 反变函子

又称预层·presheaf·限制映射·可表示预层·Definition 3.1.1·Def 3.1.1

陈述

范畴 $\mathcal{C}$ 上的（集合值）预层是函子

T : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \longrightarrow \mathbf{Set}

预层之间的态射就是它们之间的自然变换。记法：对态射 $f : Y \to X$ 记 $f^{-1} = T(f) : T(X) \to T(Y)$ ；对 $s \in T(X)$ 记 $s|_Y = f^{-1}(s)$ 。

直白的说法：每个对象指定一个数据，每条态射指定一个「限制」。反变是为了让「更小的对象拿到更多的数据」—— 越往子结构走，限制越多。

例：

偏序集上：对每个 $i$ 给一个 $T_i$ ，对 $i \le j$ 给「限制」 $T_j \to T_i$ （把反对称性去掉，预序集上同样成立）。
拓扑空间上： $\operatorname{Open}(X)$ 是开集范畴（态射是含入），预层给每个开集 $u$ 一个 $T(u)$ ，给 $u' \subseteq u$ 一个「限制」 $T(u) \to T(u')$ ， $s \mapsto s|_{u'}$ 。连续函数预层 $C^{0}$ 、光滑函数预层 $C^{\infty}$ 、常预层 $\underline{E}$ （ $\underline{E}(u) = E$ ，限制取恒等）、常函数预层都是。
固定 $X \in \mathcal{C}$ ： $h_{X} : Y \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X)$ 是预层，叫可表示预层。

函子 → 本页定义引用

预层按定义就是一个反变函子 $T : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ 。
范畴 → 本页定义引用

$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 与 $\mathbf{Set}$ 都是范畴，反变说的是复合的次序被翻过来。