范畴

范畴（Category）

定义
依赖深度 layer 7
范畴论
范畴与图

def.category · 范畴论 · 复合 · 单位

又称范畴·category·Cat·态射·Definition 1.1.1·Def 1.1.1

陈述

一个范畴是一个六元组

( \mathcal{O}, M, s, t, \circ, i )

其中 $(\mathcal{O}, M, s, t)$ 是一个图： $\mathcal{O}$ 是对象， $M$ 是态射， $s, t : M \to \mathcal{O}$ 给出每条态射的源与靶，记 $f : X \to Y$ 表示 $s(f) = X$ 、 $t(f) = Y$ 。此外还有两个映射：

复合 $\circ$ 定义在可复合的态射对上。记

M \times_{s,t} M = \{ (f, g) \in M \times M : s(f) = t(g) \}

这是「 $g$ 的靶等于 $f$ 的源」的全部态射对； $\circ : M \times_{s,t} M \to M$ 把 $(f, g)$ 送到 $f \circ g$ ，并满足结合律

h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f

（只要两边都有定义）。

单位 $i : \mathcal{O} \to M$ 给每个对象 $X$ 指定一条态射 $1_X = i(X)$ ，满足单位律

f \circ 1_X = f = 1_Y \circ f \qquad (f : X \to Y)

说明

要害是 $M \times_{s,t} M$ 这个纤维积：复合不是 $M \times M$ 上的运算，只在一部分态射对上定义。所以范畴里的复合是部分运算，「 $f \circ g$ 有没有定义」本身就是要检查的事。

例： $\mathbf{Set}$ （集合与函数）、 $\mathbf{Mon}$ （幺半群）、 $\mathbf{Grp}$ （群）、 $\mathbf{Ab}$ （交换群）、 $\mathbf{Rng}$ （环）、 $G\text{-}\mathbf{Set}$ （ $G$ -集）。

单形范畴： $\mathcal{O} = \mathbb{N}$ ，

M = \{ (m, n, f) : m, n \in \mathbb{N},\ f : [m] \to [n] \text{ 递增} \}, \qquad [m] = \{ 1, \ldots, m \}

态射是从 $m$ 到 $n$ 的递增映射。

开集范畴 $\operatorname{Open}(X)$ ：给定拓扑空间 $(X, \tau)$ ，取 $\mathcal{O} = \tau$ ，

M = \{ (u, v) : u \subseteq v \} \subseteq \tau \times \tau

即「从小的开集到包含它的开集」。

它指向谁（出边）

定义引用 17

预序集就是「Hom 至多一元」的小范畴用到本页定义引用

把预序集看成小范畴。
矩阵范畴用到本页定义引用

要验的首先是一个小范畴。
截面与收缩用到本页定义引用

截面与收缩说的是范畴里态射与单位态射之间的关系，没有范畴就无从说起。
函子用到本页定义引用

函子的定义域与靶都是范畴：对象映到对象、态射映到态射。
自然变换用到本页定义引用

自然变换的每个分量 $\alpha_X : F(X) \to G(X)$ 是范畴里的态射，自然性的方块也是在范畴里交换的。
图与交换图用到本页定义引用

索引范畴与靶都是范畴 —— 图这个概念整个建立在范畴之上。
极限用到本页定义引用

泛锥的唯一性是范畴里的唯一性，分解 $p_i \circ g = g_i$ 也是范畴里的等式。
预层用到本页定义引用

$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 与 $\mathbf{Set}$ 都是范畴，反变说的是复合的次序被翻过来。
表示函子用到本页定义引用

$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$ 是对范畴 $\mathcal{C}$ 取的 Hom 函子。
伴随函子用到本页定义引用

$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), Y)$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G(Y))$ 是对两个范畴取的 Hom 集。
紧 Hausdorff 空间范畴用到本页定义引用

把它们收成一个范畴：对象是空间，态射是连续映射。
预拓扑用到本页定义引用

预拓扑是范畴上的一组数据：对每个对象指定一族覆盖族。
上链复形用到本页定义引用

复形定义在加法范畴 $\mathcal{C}$ 上，微分是范畴里的态射。
同伦范畴用到本页定义引用

$\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 本身是一个范畴（还是加法范畴）。
滤过范畴用到本页定义引用

滤过性是范畴的一条性质。
子范畴用到本页定义引用

子范畴是范畴的对象与态射各取一部分。
单纯形范畴用到本页定义引用

$\Delta$ 本身就是一个范畴（对象是 $[n]$ ，态射是保序映射）。

谁指向它（入边）

定义引用 3

图 → 本页定义引用

范畴是一个六元组，其中 $(\mathcal{O}, M, s, t)$ 是一个图 —— 图是范畴的骨架，复合与单位是额外加上去的。
笛卡尔积存在 → 本页定义引用

复合 $\circ$ 是从 $M \times M$ 里抠出来的那部分出发的，要先有笛卡尔积。
子集 → 本页定义引用

$M \times_{s,t} M = \{ (f,g) \in M \times M : s(f) = t(g) \}$ 是 $M \times M$ 的一个子集。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1

常见问法 2 条

范畴是什么也看图、函子
函子是什么也看函子、自然变换

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