预拓扑

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 层的下降条件推出
  预拓扑下的层 $\iff$ 正合列

  设覆盖族 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$ 生成的筛是 $R$。按定义，$R$ 的截面是那些能「穿过某个 $X_{i}$」的映射：

  $$R(Y) = \{\, f : Y \to X \ \mid\ \exists i,\ \exists h : Y \to X_{i},\ f = f_{i} \circ h \,\}$$

  而 $R$ 作为预层，是那些 $h_{Y}$ 沿 $(Y \to X_{i})_{i}$ 的余极限 —— 换句话说

  $$R \;\cong\; \varinjlim_{i} h_{X_{i}}$$

  （指标是这个覆盖族，余极限在预层范畴里取。）于是：

  $$\operatorname{Hom}(R, F) \;\cong\; \operatorname{Hom}\Bigl(\varinjlim_{i} h_{X_{i}},\ F\Bigr) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}(h_{X_{i}}, F) \;\cong\; \varprojlim_{i} F(X_{i})$$

  最后一步是米田引理。在 $\mathbf{Set}$ 里，这个极限就是「每个 $F(X_{i})$ 里取一个元素」，即 $\operatorname{Hom}(R, F) = \prod_{i} F(X_{i})$。

  但这样只用到「$F$ 限制到每一块上」的信息，还没有把「两块在交叠处一致」写进来。要做这件事，就看 $R$ 的两条「投影」：把每个 $f_{i}$ 沿两条腿拉到 $X_{i} \times_{X} X_{j}$ 上，得到两个映射

  $$\prod_{i} F(X_{i}) \overset{\alpha}{\underset{\beta}{\rightrightarrows}} \prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j}), \qquad \alpha((s_{i})_{i}) = (s_{i}|_{X_{i}\times_{X}X_{j}}),\quad \beta((s_{i})_{i}) = (s_{j}|_{X_{i}\times_{X}X_{j}})$$

  相容族恰好是 $\ker(\alpha - \beta)$ —— 即「$i$ 限制到交叠」与「$j$ 限制到交叠」结果一样。于是「层的双射条件」变成

  $$F(X) \;\cong\; \ker(\alpha - \beta)$$

  （$\implies$） 层给出 $\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$，两边用米田与上面的计算展开就是所要的正合。（$\Longleftarrow$） 反过来，正合序列给出的那个 $\ker$ 与 $F(X)$ 的同构，对所有由覆盖族生成的筛 $R$ 成立；而每个 $R \in J(X)$ 都由某个覆盖族生成，所以对一切 $R \in J(X)$ 都有 $F(X) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$，即 $F$ 是层。∎

  ⚠️ 细看上面 $\alpha, \beta$ 的定义：$\operatorname{Hom}(R, F)$ 里的相容性条件要通过 $R$ 的态射结构（两个投影 $X_{i} \times_{X} X_{j} \rightrightarrows X_{i}$）才能写下来，这正是为什么必须用纤维积而不是「交」。

  这条把「层」这个抽象定义落到可以逐项验证的形状：一串截面、两个限制映射、取核。实际验层时走的都是这一条。

定义引用 2

• 覆盖族构成预拓扑 用到 本页定义引用

  结论是「这族覆盖构成预拓扑」。

• Grothendieck 拓扑 用到 本页定义引用

  由覆盖族生成覆盖筛，预拓扑就给出一个拓扑；反过来不总有预拓扑。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 范畴 → 本页定义引用

  预拓扑是范畴上的一组数据：对每个对象指定一族覆盖族。

• 纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

  第二条「拉回稳定」里的 $X_{i} \times_{X} Y$ 是纤维积。