族生成的筛

命题： $R = \coprod_{i} \operatorname{im}(h_{f_{i}})$

命题
依赖深度 layer 11
范畴论
层与拓扑

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又称Exercise 3.10

陈述

族 $(f_{i} : X_{i} \to X)_{i \in I}$ 生成的筛是

R \;=\; \coprod_{i \in I} \operatorname{im}\bigl(h_{f_{i}}\bigr),

其中 $h_{f_{i}} : h_{X_{i}} \to h_{X}$ 。也就是说： $g : Y \to X$ 落在 $R$ 中 $\iff$ 它在 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里穿过某个 $f_{i}$ 。

说明

证明。 筛就是对每个 $Y$ 给一个 $\operatorname{Hom}(Y, X)$ 的子集、且对预复合封闭 ✓。按定义，由 ${f_i}$ 生成的筛是含全体 $f_{i}$ 的那个最小筛 ✓；而 $\operatorname{im}(h_{f_{i}})$ 的取值正是「穿过 $f_{i}$ 的那些 $g$ 」，对预复合封闭 ✓，取并（余积）就得到最小的那个 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

筛 → 本页定义引用

算的是族生成的筛。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.10

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