覆盖筛的四条等价

说明

记号：$\underline{X} := \widetilde{h_{X}}$ 是 $X$ 对应的层；$\mathcal{C}/R$ 是由「筛 $R$ 里的那些态射」组成的范畴（对象是 $f \in R(Y)$，态射是使 $\ast$ 交换的那些 $g$）。

⭐ 读法：第 1 条是「$R$ 被拓扑 $J$ 承认」，第 2、3、4 条都只提到层。所以这一条说的是：「是不是覆盖」这件事可以由层来刻画，不必回头看 $J$。 这正是「拓扑 $\leftrightarrow$ 层范畴」那条对应能够一一对上的原因。

证明走法。 合成 $R \hookrightarrow h_{X} \to \widetilde{h_{X}} = \underline{X}$ 唯一地延拓出 $u : \widetilde{R} \to \underline{X}$（层化是左伴随，层是余完备的）。

• $1 \implies 2$：$R \in J(X)$ 时 $R \to \widetilde{R}$ 又由层化的粘合公理唯一延拓出 $v : \underline{X} = \widetilde{h_{X}} \to \widetilde{R}$；把 $v \circ u$ 与 $u \circ v$ 分别与 $R \to \widetilde{R}$、$h_{X} \to \underline{X}$ 比较，由延拓的唯一性它们分别是 $\mathrm{id}_{\widetilde{R}}$ 与 $\mathrm{id}_{\underline{X}}$，故 $u$ 是同构。
• $2 \implies 1$：设 $u$ 是同构。由传递性公理，只要造出一个 $R' \in J(X)$ 使每个 $f \in R'(Y)$ 都有 $f^{-1}(R) \in J(Y)$ 就够了。由 2 有 $h_{X} \to \underline{X} \cong \widetilde{R} = \mathcal{H}(\mathcal{H}(R))$，于是可造出 $R' \in J(X)$ 与 $\varphi : R' \to \mathcal{H}(R)$。对 $f \in R'(Y)$，它在 $\mathcal{H}(R)(Y)$ 里的像来自某个 $S \to R$（$S \in J(Y)$）—— 沿 $h_{Y} \to R' \to \mathcal{H}(R)$ 走一圈可知 $S \subseteq f^{-1}(R)$，于是 $f^{-1}(R) \in J(Y)$。再用一次传递性，得 $R \in J(X)$。
• $2 \iff 3$：由「层化是左 Kan 延拓」（$\sharp T = \varinjlim_{X \in \mathcal{C}/T} \underline{X}$）取 $T = R$，得 $\widetilde{R} = \sharp R = \varinjlim_{Y \in \mathcal{C}/R} \underline{Y}$。于是「$\widetilde{R} = \underline{X}$」与「$\underline{X} = \varinjlim_{Y \in \mathcal{C}/R} \underline{Y}$」是同一句话。
• $3 \implies 4$：余极限是余积的商 —— 自然映射 $\coprod_{Y \in \mathcal{C}/R} \underline{Y} \to \varinjlim_{Y} \underline{Y}$ 总是满态射；3 成立时右端就是 $\underline{X}$。
• $4 \iff 2$：靠一个恒等式。先看预层层面：$\coprod_{Y \in \mathcal{C}/R} h_{Y} \to h_{X}$ 的像恰好是 $R$ —— 它在 $Z$ 处的像是「能穿过某个 $Y \to X \in R$ 的那些 $Z \to X$」，而这正是筛的定义。再对两边作用 $\sharp$：层化是正合的（保有限极限），正合函子保像，于是

于是 4（那个映射是满态射）$\iff$ 那个像是整个 $\underline{X}$ $\iff$ $\widetilde{R} = \underline{X}$ $\iff$ 2。∎

一族态射的版本（紧跟着的推论）：族 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$ 生成覆盖筛 $\iff \coprod_{i \in I} X_{i} \to X$ 是满态射。