覆盖族构成预拓扑

命题：site 里所有生成覆盖筛的族构成预拓扑

命题
依赖深度 layer 14
范畴论
层与拓扑

prop.site-covering-families-pretopology · 命题 · site · 预拓扑 · 覆盖族

又称Exercise 3.14

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是有纤维积的 site。则全体「生成 $X$ 的覆盖筛」的族 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$ 构成 $\mathcal{C}$ 上的一个预拓扑，而且它生成 $\mathcal{C}$ 原来的拓扑 —— 这个预拓扑叫极大预拓扑。

⚠️ 注意：生成覆盖筛的族未必是给定预拓扑下的覆盖族 —— 「极大」说的是「对给定的拓扑」，不是「对给定的预拓扑」。

说明

证明。 逐条验证预拓扑公理 ✓：恒等同构是覆盖 ✓；覆盖沿任意态射拉回仍是覆盖（用 (T2) 与纤维积）✓；两个覆盖的公共细化是覆盖（用 (T3)）✓。∎

⭐ 读法：site 与（带纤维积的）预拓扑是同一份数据的两种写法 —— 用筛写方便讲层，用族写方便实际算。

谁指向它（入边）

定义引用 1

预拓扑 → 本页定义引用

结论是「这族覆盖构成预拓扑」。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.14

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