拓扑公理的替代形式

命题：最后一条公理可换成「放大 + 局部化」

prop.topology-alternative-axiom · 命题 · Grothendieck 拓扑 · 覆盖筛 · 公理

又称Exercise 3.12

陈述

Grothendieck 拓扑定义里最后一条公理可以换成：对一切 R⊆R′⊆hXR \subseteq R' \subseteq h_{X}，

R∈J(X)  ⟹  R′∈J(X),(R′∈J(X) 且 ∀f∈R′(Y), f−1(R)∈J(Y))  ⟹  R∈J(X).R \in J(X) \implies R' \in J(X), \qquad \bigl(R' \in J(X) \text{ 且 } \forall f \in R'(Y),\ f^{-1}(R) \in J(Y)\bigr) \implies R \in J(X).

说明

证明。 两条正是原公理 (T2)、(T3) 的「筛版本」：第一句说覆盖对放大封闭（原来那条是「沿自身拉回仍覆盖」，两者等价）✓；第二句说局部是覆盖则整体是覆盖（原来那条是「覆盖沿覆盖细化」）✓。逐条对照即得 ✓。∎

⭐ 读法：这两句把「覆盖」说成一族满足滤子 + 局部性的筛，实际验证拓扑时比原公理好写好用。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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